Geometrická numerická integrace
| Thesis title in Czech: | Geometrická numerická integrace |
|---|---|
| Thesis title in English: | Geometric Numerical Integration |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Numerical Mathematics (32-KNM) |
| Supervisor: | prof. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. |
| Author: |
| Guidelines |
| Řešíme počáteční úlohu pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Vybrané metody řešení této úlohy jsou probrány v kurzu Základy numerické matematiky v rámci bakalářského programu. Globální chyba příslušné numerické metody se analyzuje na zadaném intervalu [0,T]. Odhad chyby exponenciálně roste vzhledem k délce intervalu T. To je špatná zpráva vzhledem k tomu, že nás bude především zajímat asymptotický vývoj řešení (t.j. řešení kde T je velké). Budeme ale uvažovat takové ODR, které modelují fyzikální zákonitosti např. zákony zachování objemu, atd. Tomu je třeba přizpůsobit i numerické metody, které by měly respektovat fyziku. Tento fakt výpočet zachrání.
Budeme vycházet z [1]. Název knihy "Geometric Numerical Integration" koresponduje s českým názvem tohoto projektu. Podtitul knihy je "Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations". Jde tedy o algoritmy, které respektují fyzikální podstatu modelu. Náplň práce: Kniha [1] je obsáhlou monografií. Je třeba si přečíst první kapitolu Chapter I. Examples and Numerical Experiments. Jde o formulaci modelových ODR a) Dravec a kořist (model Lotka-Voltera) b) matematické kyvadlo jako Hamiltonovský systém c) Keplerův problém, případně dalších úloh z této kapitoly. Jsou formulovány základní algoritmy numerického řešení. Detaily lze najít v učebních textech [2] a [3]. Řešení práce zahrnuje: 1. rešerši výše uvedených textů 2. formulaci modelů a) - c), případně dalších 3. programování algoritmů v jazyce Matlab 4. provedení numerických experimentů 5. porovnání metod Poznamenejme, že metody Gni (geometric numerical integration) jsou implementovány v knihovně [4]. |
| References |
| [1] E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner (2002): Geometric Numerical Integration.
Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential equations. Springer Series in Comput. Math., vol. 31 [2] https://www.unige.ch/~hairer/poly_geoint/week1.pdf [3] https://www.unige.ch/~hairer/poly_geoint/week2.pdf [4] E. Hairer and M. Hairer (2002): GniCodes - Matlab programs for geometric numerical integration. |