Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

• Thesis title in Czech: Důkazy vybraných geometrických konstrukcí
• Thesis title in English: Proofs of selected geometric constructions
• Key words: Geometrie, konstrukce, kuželosečky, cyklické křivky, konchoidy.
• English key words: Geometry, construction, conic sections, cyclic curves, conchoids.
• Academic year of topic announcement: 2018/2019
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Supervisor: Mgr. Michal Zamboj, Ph.D.
• Author: hidden - assigned by the advisor, čeká na schválení garantem
• Date of registration: 17.04.2019
• Date of assignment: 17.04.2019
• Date and time of defence: 07.09.2021 00:00
• Venue of defence: M. Rettigové 4, Praha 1, R302, 302, Knihovna KMDM, 3. patro, vpravo
• Date of electronic submission: 12.07.2021
• Date of proceeded defence: 07.09.2021
• Course: Diploma Thesis (OSZD004)
• Opponents: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D.

Guidelines

Student/ka provede rešerši odborné literatury na dané téma, vhodně vybere konstrukce používané v deskriptivní geometrii a dokáže je za pomocí elementárních prostředků.

References

Urban A.: Deskriptivní Geometrie I, II a další učebnice deskriptivní geometrie
В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский: Курс начертательной геометрии, 1988

Preliminary scope of work

Tato práce je shrnutím vybraných konstrukcí používaných v deskriptivní a kinematické geometrii. Tyto konstrukce jsou vždy podrobně popsány a dokázány.
První kapitola je věnována samotnému pojmu křivka a křivost. Druhá se pak věnuje kuželosečkám, tedy elipse, hyperbole a parabole. Tyto křivky jsou zadefinovány, jsou popsány jejich hlavní vlastnosti a je odvozena jejich rovnice. Dále pak kapitola obsahuje popis různých druhů konstrukcí těchto křivek. Konkrétně jde zejména o bodové konstruce a konstrukce pomocí oskulačních kružnic.
Třetí kapitola se věnuje cyklickým křivkám, tedy cykloidě, epicykloidě, hypocykloidě, pericykloidě a evolventě křužnice. U těchto křivek je zadefinován pohyb, kterým vznikají, a je představeno parametrické vyjádření dané křivky. Následuje popis konstrukce tohoto pohybu a důkaz, že body této konstrukce odpovídají parametrickému vyjádření cyklické křivky.
Na závěr se poslední čtvrtá kapitola věnuje konchoidám, které se spolu s cyklickými křivkami řadí mezi kinematické křivky. I zde je nejprve představen pohyb, kterým konchoidy vznikají, je popsána konstrukce tohoto pohybu a je dokázáno, že zkonstruované body odpovídají rovnici hledané křivky. Konkrétně u konchoidy kružnice je dokázána konstrukce Pascalových závitnic.

Preliminary scope of work in English

This bachelor thesis is the summary of the chosen constructions used in descriptive and kinematic geometry. These constructions are always described in detail and proven.
The first chapter is devoted to the very concept of curve and curvature. The second chapter is focused on conic sections, ie ellipses, hyperbolas and parabolas. These curves are defined, their main characteristics are described, and their equation is derived. Further off, the chapter contains of the various kinds of constructions of these curves. It is particularly about point structures and structures using osculating circles.
The third chapter deals with the cyclic curves, ie cycloid, epicycloid, hypocycloid, pericycloid and involute of a circle. For these curves, the motion by which they arise is defined, and the given curve's parametric expression is presented. The following is a description of the construction of this motion and proof that the points of this construction correspond to the parametric expression of the cyclic curve.
Finally, the fourth chapter focuses on conchoids, which together with cyclic curves rank among the kinematic curves. Even here the motion by which conchoids are created is first introduced, the construction of this motion is described, and it is proved that the constructed points correspond to the equation of the searched curve. Specifically, for the conchoid of a circle, the construction of limacon of Pascal is proven.