Classical operators of harmonic analysis and Sobolev embeddings on rearrangement-invariant function spaces

• Thesis title in Czech: Klasické operátory harmonické analýzy a Sobolevova vnoření na prostorech funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání
• Thesis title in English: Classical operators of harmonic analysis and Sobolev embeddings on rearrangement-invariant function spaces
• Key words: integrální operátory|Sobolevova vnoření|stopy|prostory invariantní vůči nerostoucímu přerovnání|optimální cíle|optimální domény|redukční princip|kompaktnost
• English key words: integral operators|Sobolev embeddings|traces|rearrangement-invariant function spaces|optimal targets|optimal domains|reduction principle|compactness
• Academic year of topic announcement: 2017/2018
• Thesis type: dissertation
• Thesis language: angličtina
• Department: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Supervisor: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 20.09.2017
• Date of assignment: 20.09.2017
• Confirmed by Study dept. on: 03.10.2017
• Date and time of defence: 11.03.2022 09:00
• Date of electronic submission: 28.03.2021
• Date of submission of printed version: 29.03.2021
• Date of proceeded defence: 11.03.2022
• Opponents: Andrea Cianchi

Guidelines

Student/ka se nejprve seznámí s rozsáhlou literaturou (klasickou i moderní, knižní i časopiseckou) o vlastnostech klasických operátorů harmonické analýzy, jako jsou integrální či supremální operátory, singulární integrály či potenciální operátory, a také s vlastnostmi sobolevských vnoření a operátoru stop na rozličných prostorech funkcí. Bude se soustřeďovat zejména na omezenost či kompaktnost zmíněných operátorů a také na jemné vlastnosti funkcí ze Sobolevových prostorů. Po nastudování příslušné literatury se pokusí vyřešit některé ze závažných hlubokých otevřených problémů z této oblasti matematiky a jejích aplikací.

References

R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975,

M. Ariňo and B. Muckenhoupt: Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 727-735,

C. Bennett and R. Sharpley: Interpolation of Operators, Academic Press, Pure and Applied Mathematics, Vol. 129, Boston, 1988,

H. Brézis and S. Wainger, A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities, Comm. Partial Diff. Eq. 5 (1980), 773–789,

M. Carro, L. Pick, J. Soria and V. Stepanov, On embeddings between classical Lorentz spaces, Math. Ineq. Appl 4 (2001), 397–428,

A. Cianchi and L. Pick, Sobolev embeddings into spaces of Campanato, Morrey and Hölder type, J. Math. Anal. Appl. 282 (2003), 128–150,

A. Cianchi, L. Pick and L. Slavíková, Higher-order Sobolev embeddings and isoperimetric inequalities, Adv. Math. 273 (2015), 568–650,

D.E. Edmunds, R. Kerman and L. Pick, Optimal Sobolev embeddings involving rearrangement-invariant quasinorms, J. Funct. Anal. 170 (2000), 307–355,

A. Gogatishvili and L. Pick, Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms, Publ. Mat. 47 (2003), 311–358,

K.–G. Grosse–Erdmann, The Blocking Technique, Weighted Mean Operators and Hardy’s Inequality, Lect. Notes Math. 1679, Springer, Berlin, 1998,

M.A. Krasnosel’skii and Ya.B. Rutitskii, Convex functions and Orlicz spaces, Noordhoff, Groningen, 1961,

A. Kufner, O. John and S. Fuˇc´ık, Function spaces, Noordhoff, Leyden, Academia, Praha, 1977,

J. Lindednstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces I and II, Springer, Berlin, 1977,

E. Sawyer, Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces, Studia Math. 96 (1990), 145–158,

A.C. Zaanen, Linear Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1960,

W.P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions, Springer, New York, 1989

a další knižní a časopisecká literatura

Preliminary scope of work

Vlastnosti klasických operátorů na prostorech funkcí tvoří důležitou a neustále se rozvíjející součást funkcionální analýzy se spoustou aplikací. Tato oblast matematiky obsahuje celou řadu velmi zajímavých otevřených problémů vhodných pro studenty doktorského studia.

Preliminary scope of work in English

The action of classical operators on function spaces constitutes a very important part of functional analysis with a lot of applications. This field of mathematics contains numerous very interesting open problems appropriate for PhD students.