Quotients in algebraic geometry

• Thesis title in Czech: Kvocienty v algebraické geometrii
• Thesis title in English: Quotients in algebraic geometry
• Key words: algebraická geometrie, komutativní algebra, pushouty, pullbacky
• English key words: algebraic geometry, commutative algebra, pullbacks, pushouts
• Academic year of topic announcement: 2016/2017
• Thesis type: diploma thesis
• Thesis language: angličtina
• Department: Department of Algebra (32-KA)
• Supervisor: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.
• Author: Mgr. Jakub Kopřiva - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 19.02.2017
• Date of assignment: 02.03.2017
• Confirmed by Study dept. on: 21.03.2017
• Date and time of defence: 10.09.2018 14:00
• Date of electronic submission: 20.07.2018
• Date of submission of printed version: 20.07.2018
• Date of proceeded defence: 10.09.2018
• Opponents: doc. Mgr. Pavel Příhoda, Ph.D.

Guidelines

Student se seznámí s kritérii, kdy lze sestrojit pushout (= amalgamovanou sumu) algebraických množin nebo kvocient algebraické množiny podle působení grupy a výsledkem je opět algebraická množina. Pushouty se zabývají články [1] a [6] a konstrukce probíhá přes pullbacky souřadnicových okruhů v kategorii algeber nad daným tělesem. Podobně konstrukce kvocientů podle působení grupy probíhá přes okruhy invariantních regulárních funkcí (vizte např. publikace [4] a [5]). Dále je možné buď detailněji analyzovat konstrukce kvocientů a jejich aplikace za předpokladů, kdy existují, nebo naopak pochopit teoretický (dosti technický) rámec schémat [2] a algebraických prostorů [3], který řeší řadu situací, kdy kvocienty klasicky neexistují.

References

[1] D. Ferrand, Conducteur, descente et pincement, Bull. Soc. Math. France 131 (2003), no. 4, 553-585.

[2] U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic geometry I - Schemes with examples and exercises, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2010.

[3] D. Knutson, Algebraic spaces, Lecture Notes in Mathematics 203, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

[4] H. Kraft, Geometric methods in representation theory, Representations of algebras (Puebla, 1980), pp. 180–258, Lecture Notes in Math. 944, Springer, 1982.

[5] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

[6] K. Schwede, Gluing schemes and a scheme without closed points, Recent progress in arithmetic and algebraic geometry, 157-172,
Contemp. Math., 386, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

Preliminary scope of work

Algebraická geometrie se zabývá polynomiálními (a racionálními) funkcemi a množinami jejich nul. Takovýto kontext se zdá být na pohled dosti neflexibilní, protože máme v porovnáním s geometrickými objekty z diferenciální geometrie k dispozici poměrně málo zobrazení. Hlubší studium ovšem ukáže, že i s polynomy a racionálními zobrazeními lze (při volbě vhodných souřadnic) dokázat překvapivě mnoho.

Tato práce se má zabývat problémem, kdy lze dát různým kvocientním konstrukcím na algebraických množinách (např. jejich lepením podél podmnožin, ztotožňováním různých bodů apod.) vhodný souřadnicový systém, aby výsledkem byla opět algebraická množina. Jeden konkrétní příklad jako malá ilustrace teorie: Slepíme-li na afinní přímce body 1 a -1, výsledek lze popsat v rámci algebraické geometrie jako varietu C danou v rovině rovnicí y^2 = x^2 * (x+1) a kvocientní zobrazení jako polynomiální parametrizaci A^1 --> C, t |--> (t^2-1, t*(t^2-1)).