Definable graphs

• Thesis title in Czech: Definovatelne grafy
• Thesis title in English: Definable graphs
• Key words: grafy, graphony, graphingy, dichotomie, Borelovska reducibilita, orbitova equivalence, Polska grupa
• English key words: graphs, graphons, graphings, dichotomy, Borel reducibility, orbit equivalence relation, Polish group
• Academic year of topic announcement: 2015/2016
• Thesis type: dissertation
• Thesis language: angličtina
• Department: Institute of Mathematics CAS (32-MUAV)
• Supervisor: RNDr. David Chodounský, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 03.10.2016
• Date of assignment: 03.10.2016
• Confirmed by Study dept. on: 06.10.2016
• Date and time of defence: 05.05.2020 10:00
• Date of electronic submission: 19.09.2019
• Date of submission of printed version: 20.09.2019
• Date of proceeded defence: 05.05.2020
• Opponents: RNDr. Ondřej Kurka, Ph.D.

Guidelines

Hlavním tématem práce bude studium filtrů, forcingových metod pro přidávání pseudointersekcí (diagonalizace) daných filtrů, a aplikace získaných poznatků v topologické dynamice a pro konstrukci nových modelů teorie množin.
Vlastnosti filtrů (zejména filtrů na spočetných množinách) a konstrukce forcingů diagonalizující dané filtry jsou klíčové prvky mnoha kombinatorických a topologických výsledků. Důkazy konzistencí topologických tvrzení často sledují formát 1) identifikace kritických filtrů, 2) konstrukce vhodného forcingu pro diagonalizaci kritického filtru, 3) konstrukce modelu ZFC iterací nalezeného forcingu. V tomto schématu je typicky klíčový 2. krok, rozřešení mnoha problémů například 'čeká' na nalezení omega-bounding forcingu diagonalizujícího daný filtr. Filtry jsou také centrálním bodem moderních metod topologické dynamiky, viz [11].
Po seznámení se s problematikou se uchazeč zaměří na řešení konkrétních otevřených problémů, zmiňme zde dva:
1) Konstrukce omega-bounding forcingu pro diagonalizaci density 1 filtru na přirozených číslech.
2) Má-li univerzální minimální dynamický systém M(G) polské grupy G comeagre orbit, musí být M(G) metrizovatelný?

References

[1] Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995.
[2] Ben Yaacov, Itaï; Melleray, Julien; Tsankov, Todor: Metrizable universal minimal flows of polish groups have a comeagre orbit, preprint
[3] Chodounský, David; Repovš, Dušan; Zdomskyy, Lyubomyr: Mathias forcing and combinatorial covering properties of filters. J. Symb. Log. 80 (2015), no. 4, 1398–1410.
[4] Jech, Thomas Set theory. The third millennium edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
[5] Kechris, A. S.; Pestov, V. G.; Todorcevic, S: Fraïssé limits, Ramsey theory, and topological dynamics of automorphism groups. Geom. Funct. Anal. 15 (2005), no. 1, 106–189.
[6] Kunen, Kenneth Set theory. An introduction to independence proofs. Reprint of the 1980 original. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983.
[7] Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. Second edition. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[8] Todorchevich, S.; Farah, I: Some applications of the method of forcing. Yenisei Series in Pure and Applied Mathematics. Yenisei, Moscow; Lycée, Troitsk, 1995.
[9] Todorcevic, Stevo: Notes on forcing axioms. Edited and with a foreword by Chitat Chong, Qi Feng, Yue Yang, Theodore A. Slaman and W. Hugh Woodin. Lecture Notes Series. Institute for Mathematical Sciences. National University of Singapore, 26. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2014.
[10] Zapletal, Jindřich Forcing idealized. Cambridge Tracts in Mathematics, 174. Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
[11] Zucker, Andy: Topological dynamics of automorphism groups, ultrafilter combinatorics, and the Generic Point Problem. Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 9, 6715–6740.