Různá zobecnění diskrétní Gáborovy transformace
| Thesis title in Czech: | Různá zobecnění diskrétní Gáborovy transformace |
|---|---|
| Thesis title in English: | Various generalizations of the discrete Gabor transform |
| Academic year of topic announcement: | 2015/2016 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Geophysics (32-KG) |
| Supervisor: | RNDr. Luděk Klimeš, DrSc. |
| Author: |
| Guidelines |
| Gáborovy funkce exp[-q(x^i-x_0^i)], kde q(x^i) jsou komplexní kvadratické funkce reálných prostorových souřadnic x^i, jsou zajímavé tím, že jsou dobře lokalizované v prostoru a současně jsou dobře lokalizované i jejich Fourierovy transformace. Kromě toho jsou ideálními stavebními kameny vlnových polí, protože Gaussovské vlnové balíky, které mají tvar Gáborových funkci, si při síření tvar Gáborových funkcí přibližně (ve vysokofrekvenční aproximaci) zachovávají.
Dlouho známým příkladem je diskrétní Gáborova transformace v prostoru L2(R) funkci definovaných na jednorozměrném prostoru R reálných čísel (Klimeš, 2008a, http://sw3d.cz/papers/r17lk5.htm). Gáborovy funkce mají v tomto případě konstantní reálnou obálku danou konstantním reálným koeficientem kvadratického členu v q(x^i). Diskrétní Gáborovu transformaci lze zobecnit na Gáborovy funkce s konstantní komplexní obálkou v prostoru L2(R^N) funkcí definovaných na vícerozměrném prostoru R^N (Klimeš, 2008b, http://sw3d.cz/papers/r17lk6.htm). Pro síření vln by ale byly důležité hlavně Gáborovy funkce, jejichž obálka by nebyla konstantní ale měla šířku nepřímo úměrnou odmocnině z frekvence (vlnového čísla). Zatím víme jen, že Gáborovy funkce, jejichž obálka má šířku nepřímo úměrnou frekvenci (místo odmocniny) netvoří frame v prostoru L2(R) (Daubechies, 1992, Ten Lectures on Wavelets, sec.3.3.1), ale lze je jemně modifikovat tak, aby frame tvořily (Daubechies, 1992, sec.3.3.5.C). Zajímavé by byly hlavně frames v prostorech funkcí, které jsou nějakým způsobem lokalizované v prostoru a současně mají nějakým způsobem lokalizované Fourierovy transformace. Z praktického hlediska by bylo velmi žádoucí i další zobecnění na Gáborovy funkce s hladce prostorově závislou obálkou. Všechna zmíněna zobecnění diskrétní Gáborovy transformace mají přímé praktické aplikace. |
| References |
| Daubechies, I. (1992):
Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia. Klimes, L. (2008a): Frame bounds and discretization error of the 1-D Gabor transform. In: Seismic Waves in Complex 3-D Structures, Report 18, Dep. Geophys., Charles Univ., Prague, pp. 95-108, http://sw3d.cz/papers/r17lk5.htm Klimes, L. (2008b): A conjecture on the frame bounds of the multidimensional Gabor transform with complex-valued envelopes. In: Seismic Waves in Complex 3-D Structures, Report 18, Dep. Geophys., Charles Univ., Prague, pp. 109-114, http://sw3d.cz/papers/r17lk6.htm |