Konstrukce a využití optimálních prostorů testovacích funkcí

• Thesis title in Czech: Konstrukce a využití optimálních prostorů testovacích funkcí
• Thesis title in English: Construction and employment of optimal test spaces
• Key words: DPG, metoda konečných prvků, konvekce-difuse
• English key words: DPG, finite element method, convection-diffusion
• Academic year of topic announcement: 2022/2023
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Department of Numerical Mathematics (32-KNM)
• Supervisor: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D.

Guidelines

Student se seznámí se základy metody konečných prvků (FEM) a Petrov-Galerkinovy metody. Student numericky napočítá aproximaci vhodného testovacího prostoru vzhledem k problému konvekce-difuse a ten pak využije k numerickým experimentům.

References

P.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, Studies in Mathematics and its Applications 4, North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978

L. Demkowicz, J. Gopalakrishnan: Analysis of DPG method for the Poisson equation, SIAM J. Numer. Anal. 49, No. 5, 1788-1809 (2011).

Preliminary scope of work

Galerkinova metoda je jedním ze základních přístupů k numerickému řešení PDR. Při řešení PDR hledáme funkci (tedy prvek z nekonečně-dimensionálního prostoru funkcí). Při použití Galerkinovy metody tento prostor funkcí aproximujeme nějakým vhodným konečně-dimensionálním prostorem a numerické řešení hledáme na něm. Tím je tento problém redukován a stává se "upočítatelným". Sama metoda konečných prvků pojednává o vhodných volbách těchto konečně-dimensionálních prostorů.

Zdá se (alespoň v jednoduchých případech), že takovouto Galerkinovou metodou lze získat řešení, které je v určitém smyslu optimální (odchylka vzhledem k určité normě je minimální). Nabízí se myšlenka, zda lze pozměněnou volbou tzv. testovacího prostoru dosáhnout optimality vzhledem k jiným normám a tím být schopen konstruovat vhodné varianty metody podle potřeby. Tak tomu opravdu je. Problémem je pouze obtížná konstrukce samotného testovacího prostoru - zdá se, že je nejméně stejně těžká jako samotné řešení problému. Proto se tento prostor taktéž aproximuje.

Náplní práce bude zkoumat povahu těchto testovacích prostorů. Předpokládá se, že bude možné dosáhnout alespoň jejich aproximace. Jejich přesné nalezení a případně jejich hlubší zkoumání by mohlo být náplní další práce (diplomové, disertační).

Problematika je nová (odborné články vychazejí teprve od roku 2009) a potenciálně velmi perspektivní. Vítám případnou diskusi nebo otázky o tématu. [e-mail]