Barvení uzlů
| Thesis title in Czech: | Barvení uzlů |
|---|---|
| Thesis title in English: | Coloring knots |
| Key words: | invarianty uzlů, quandly, SAT a #-SAT problém |
| English key words: | knot invariants, quandles, SAT and #-SAT problem |
| Academic year of topic announcement: | 2016/2017 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | čeština |
| Department: | Department of Algebra (32-KA) |
| Supervisor: | doc. RNDr. David Stanovský, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 06.11.2016 |
| Date of assignment: | 16.11.2016 |
| Confirmed by Study dept. on: | 09.12.2016 |
| Date and time of defence: | 21.06.2017 00:00 |
| Date of electronic submission: | 17.05.2017 |
| Date of submission of printed version: | 19.05.2017 |
| Date of proceeded defence: | 21.06.2017 |
| Opponents: | doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D. |
| Guidelines |
| Předmětem práce je provedení výpočetního experimentu s barvicími invarianty uzlů. Cílem experimentu je (1) kvalitativní informace o vztahu obarvitelnosti daného typu uzlů daným typem barvení (např. minimální velikost barvení daného typu pro daný uzel), (2) kvantitativní informace o časové náročnosti barvení v závislosti na velikosti uzlu, jeho braid indexu a na počtu barev.
Stěžejní částí práce bude získat vstupní data (formální prezentace uzlů) k experimentu. Testovat se budou malé uzly (např. všechny s 12 kříženími), posloupnosti uzlů rostoucí velikosti a rostoucího braid indexu, v nějakém smyslu náhodné uzly, uzly s triviálním Alexanderovým polynomem (Whitehead double, mutace triviálního uzlu), dvojice uzlů se stejným Alexanderovým i Jonesovým polynomem (mutace). Výstupem práce budou kompletní data z experimentu a jejich základní analýza. |
| References |
| C. Adams, The knot book, AMS, 2004.
S. Nelson, The combinatorial revolution in knot theory. Notices Amer. Math. Soc. 58 (2011), no. 11, 1553–1561. Andrew Fish, Alexei Lisitsa, David Stanovský, Combinatorial approach to knot recognition, CCIS 514, Springer, 2015. Masahico Saito, http://shell.cas.usf.edu/~saito/QuandleColor/ a další dle pokynů vedoucího |
| Preliminary scope of work |
| Uzel, jako matematický objekt, je spojité vnoření kružnice do třírozměrného eukleidovského prostoru. Neformálně, zašmodrchaný provázek, jemuž slepíme oba konce. Základní otázkou je, jak poznat, že jsou dva uzly ekvivalentní (jeden lze přešmodrchat na druhý aniž bychom přestřihli provázek), resp. jak poznat, že je daný uzel triviální (lze jej rozšmodrchat na kružnici). K vyloučení ekvivalence dvou uzlů se používají tzv. invarianty.
Předmětem práce je invariant, kterému se říká barvení. Nejjednodušší případ je následující: vezmeme si dvourozměrný diagram uzlu a každému souvislému oblouku přiřadíme jednu ze tří barev tak, aby každé křížení bylo buď jednobarevné, nebo tříbarevné. Pokud existuje obarvení diagramu, které využívá víc než jednu barvu, pak tento uzel není triviální. Obecná varianta barvení využívá množinu barev, na které je definovanána binární operace splňující jisté tři jednoduché axiomy, a podmínkou je, aby křížení v diagramu jistým způsobem respektovala tuto operaci. Invariantem je počet obarvení. Ukazuje se, že všechny algebry vhodné k barvení lze najít jako jisté konfigurace v tranzitivních grupách. Cílem práce je studium barvicích invariantů v závislosti na tom, jakou algebraickou strukturou se barví. Student se bude snažit zjistit, které barvicí invarianty rozlišují uzly lépe a které hůře. Vycházet se bude z počítačových experimentů s malými uzly. Po matematické stránce půjde především o teorii permutačních grup. |