Řešení PDE s vylepšeným strojovým učením
| Název práce v češtině: | Řešení PDE s vylepšeným strojovým učením |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Solving a Machine Learning Enhanced PDE |
| Klíčová slova: | diferenciální rovnice|numerické metody|strojové učení|elektrostatika |
| Klíčová slova anglicky: | differential equations|numerical methods|machine learning|electrostatics |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | Christoph Allolio, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| The bachelor thesis consists of extending a numerical solver for a coupled algebraic/ nonlinear
ODE system to a higher number of auxiliary fields and to explore the parameter space. It is possible to also use Bayesian inference to parametrize the ODE or to take first steps to solving the PDE system. Numerical results should be tested for correct asymptotic properties and against simulation data. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Jacob N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces, 3rd ed. Academic Press 2011 Amsterdam
[2] Thomas Hofmann, Bernhard Schölkopf, Alexander J. Smola, The Annals of Statistics 2008 36, 3, 1171–1220 [3] David S. Dean, Jure Dobnikar, Ali Naji, Rudolf Podgornik ed., Electrostatics of Soft and Disordered Matter, Routledge 2014 |
| Předběžná náplň práce |
| Poisson-Boltzmannova (PB) rovnice popisuje rozložení iontů na nabitých
rozhraních v roztoku. Je to mean-field teorie, široce používána k popisu stability emulzí nebo solvataci proteinů. Je zásadní pro koloidní vědy, stejně jako pro kontinuální popis mikroskopických biosystémů. V naší skupině jsme odvodili dosud nepublikované rozšíření PB rovnice, které zahrnuje korektivní členy získané prostřednictvím strojově naučených potenciálů. Výsledné rovnice lze řešit jako ODE, které ale navíc obsahují několik pomocných polí. Pro tuto bakalářskou práci hledáme matematického modeláře, který vylepší náš numerický řešič PB rovnice, aby byl schopen zpracovávat více pomocných polí v jednoduchém rámci ODR. Věříme, že náš přístup je velmi slibný, avšak nachází se stále v rané fázi. |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
|
The Poisson-Boltzmann equation describes the distribution of ions at charged interfaces in solution. It is a mean-field theory that is widely used to describe the stability of emulsions, solvation of proteins and is fundamental to field of colloid science as well as the continuum description of microscopic biosystems. We have derived a yet unpublished extension of the PB equation, which incorporates corrections via machine-learned potentials. The resulting coupled equations can be solved in an ODE setting, but contain several auxiliary fields. For this Bachelor thesis, We are looking for a mathematical modeler to improve our numerical solver for this equation, in order to to be able to handle more auxiliary fields in a simple ODE setting. We believe our approach has considerable promise, but is still at an early stage. |