Řešení variačních úloh pomocí strojového učení

• Název práce v češtině: Řešení variačních úloh pomocí strojového učení
• Název v anglickém jazyce: Solving variational problems by machine learning
• Klíčová slova: strojové učení|rozpoznávání modelů|neuronové sítě|variační počet
• Klíčová slova anglicky: machine learning|model recognition|neural networks|calculus of variations
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Michal Pavelka, Ph.D.
• Řešitel: Bc. Přemysl Kaska - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 20.10.2023
• Datum zadání: 20.10.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 28.05.2024
• Datum a čas obhajoby: 12.09.2024 08:30
• Datum odevzdání elektronické podoby: 18.07.2024
• Datum odevzdání tištěné podoby: 18.07.2024
• Datum proběhlé obhajoby: 12.09.2024
• Oponenti: doc. RNDr. Lukáš Grajciar, Ph.D.
• Konzultanti: Mgr. Martin Šípka, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Student by měl postupovat skrze následující kroky:
1) Zpracování úvodu do variačního počtu ve fyzice
2) Úvod do strojového učení pomocí neuronových sítí
3) Vyřešení jednoduchých úloh variačního počtu (například harmonický oscilátor nebo jejich soustava, tuhé těleso, brachystochrona) analyticky (případně s pomocí numeriky).
4) Vyřešení těchto úloh pomocí několika přístupů v rámci strojového učení:
a) Přímé hledání minima akce zakódovaného jako neuronová síť
b) Hledání Euler-Lagrangeovy rovnice (nebo její aproximace) jako neuronovou síť a její následné řešení
c) Pokud se to ukáže jako možné (nepovinný bod), tak naprogramování modelu neurovnové sítě, který provádí Legendreovu transformaci a najde tak hamiltonián k danému lagrangiánu, který by se pak vložil do symplektického integrátoru a vedl by tak také k řešení variační úlohy.

Seznam odborné literatury

[1] Cueto, E., Chinesta, F. Thermodynamics of Learning Physical Phenomena. Arch Computat Methods Eng (2023). https://doi.org/10.1007/s11831-023-09954-5[2
[2] Martin Šípka, Michal Pavelka, Oğul Esen, Miroslav Grmela, Direct Poisson neural networks: Learning non-symplectic mechanical systems, arXiv:2305.05540, 2023.
[3] Samuel James Greydanus, Timothy David Strang, Isabella Caruso, Nature's Cost Function: Simulating Physics by Minimizing the Action, ICLR 2023 Workshop Physics4ML

Předběžná náplň práce

Strojové učení pomocí neuronových sítí se dá použít na řešení široké škály problémů [1,2]. Ve fyzice se například často setkáváme s problémem minimalizace akce. Cílem studentské práce je prozkoumat základní aspekty použití neuronových sítí na řešení variačních problémů [3]. Dá se očekávat, že bude-li nalezena robustní numerická metoda řešící variační problémy, dala by se zobecnit na mnohodimenzionální problémy, kde by mohla předčít standardní numerické metody.