Uniformní analýza superkonvergence nespojité Galerkinovy metody pro konvektivně-difuzní úlohy
| Název práce v češtině: | Uniformní analýza superkonvergence nespojité Galerkinovy metody pro konvektivně-difuzní úlohy |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Uniform analysis of superconvergence of discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems |
| Klíčová slova: | Nespojitá Galerkinova metoda, Superkonvergence, Odhady chyb |
| Klíčová slova anglicky: | Discontinuous Galerkin Method, Superconvergence, Error estimates |
| Akademický rok vypsání: | 2015/2016 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra numerické matematiky (32-KNM) |
| Vedoucí / školitel: | RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student se seznámí se základy numerické analýzy nespojité Galerkinovy metody pro diskretizaci obyčejných diferenciálních rovnic a s problemy konvekce-difuze. Dále pak odvodí uniformní apriorní odhady chyb pro rovnici konvekce-difuze s dominantní konvekcí, které budou popisovat superkonvergenci v čase. |
| Seznam odborné literatury |
| M. Delfour, W. Hager, F. Trochu. Discontinuous Galerkin methods for ordinary differential equations. Math. Comput., 36:455–473, 1981
E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner. Solving ordinary differential equations I, Nonstiff problems. Number 8 in Springer Series in Computational Mathematics. Springer Verlag, 2000 E. Hairer, G. Wanner. Solving ordinary differential equations II, Stiff and differential-algebraic problems. Springer Verlag, 2002 V. Thomee: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, 2nd revised and expanded ed. Springer,2006 M. Vlasak, H.-G. Roos: An optimal uniform a priori error estimate for an unsteady singularly perturbed problem. IJNAM 11(1):24-33, 2014 |
| Předběžná náplň práce |
| Nespojitá Galerkinova metoda (DGFEM), ať už je použitá pro diskretizaci v čase nebo v prostoru, představuje velmi moderní a perspektivní prostředek pro řešení stlačitelného vazkého proudění, ale i jiných praktických problémů.
Většina teoretických prací pojednávajících o časové diskretizaci parabolických úloh pomocí DGFEM uvádí řád konvergence q+1 při použití polynomiálního stupně q. Je-li eliptický operátor dostatečně jednoduchý, lze ukázat, že řád konvergence je dokonce 2q+1, tedy téměř dvojnásobný. Analýza konvektivně-difuzních problémů má ale určitá specifika, která nejsou přímo slučitelná s již zmíněnou analýzou. Práce by se měla pokusit navázat na článek 'Vlasak, Roos', kde se odvozují uniformní odhady chyb pro problémy konvekce-difuze a pokusit se je upravit tak, aby vyhovovaly technikám pro dukaz superkonvergence (viz. zbylá literatura). Vhodným doplněním práce je napočítání numerických experimentů potvrzujících odvozená tvrzení. Vítám případný neformální pohovor. vlasak@karlin.mff.cuni.cz |