Témata prací (Výběr práce)Témata prací (Výběr práce)(verze: 308)
Detail práce
  
Konečné prvky v elektromagnetismu kompatibilní s De Rhamovým diagramem
Název práce v češtině: Konečné prvky v elektromagnetismu kompatibilní s De Rhamovým diagramem
Název v anglickém jazyce: Finite Elements for Electromagnetics Compatible with De Rham Diagram
Klíčová slova: Maxwellovy rovnice, hranové konečné prvky, de~Rhamův diagram, báze prostoru konečných prvků
Klíčová slova anglicky: Maxwell's equations, edge finite element, de Rham diagram, finite element basis
Akademický rok vypsání: 2007/2008
Typ práce: diplomová práce
Jazyk práce: angličtina
Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
Vedoucí / školitel: Prof. Ivo Doležel, CSc.
Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
Datum přihlášení: 07.11.2007
Datum zadání: 12.12.2007
Datum a čas obhajoby: 01.06.2011 00:00
Datum odevzdání elektronické podoby:27.04.2011
Datum odevzdání tištěné podoby:27.04.2011
Datum proběhlé obhajoby: 01.06.2011
Oponenti: doc. RNDr. Tomáš Vejchodský, Ph.D.
 
 
 
Konzultanti: RNDr. Mgr. Pavel Šolín, Ph.D.
Zásady pro vypracování
De Rhamův diagram je operátorové schema propojující prostory H1, H(curl) a L2 pomocí operátoru gradientu a rotace (ve dvou prostorových dimenzích) a prostory H1, H(curl), H(div) a L2 (ve 3D). Tento diagram je přesný v tom smyslu, že jádro každého operátoru v diagramu se přesně shoduje s oborem hodnot předchozího operátoru. Nedávno získané výsledky ukazují, že kompatibilita konečných prvků s De Rhamovým diagramem je nesmírně důležitá pro smíšené a sdružené problémy řešené metodou konečných prvků.

V diskretizaci Maxwellových rovnic pomocí metody konečných prvků se kompatibilita s De Rhamovým diagramem převádí na potřebu konstrukce báze prostoru konečných prvků mající dvě části: gradienty skalárních funkcí (jejichž rotace je nulová) a vektorová pole, jež nejsou gradientem žádné skalární funkce. Kupříkladu, nejčastěji užívané prvky nejnižšího řádu (tzv. Whitneyho elementy) tuto vlastnost nemají. Hledání gradientní části báze prostoru konečných prvků je motivováno praktickými výpočty - matice tuhosti vzniklá diskretizací časově harmonických Maxwellových rovnic obsahuje jak L^2 součiny bázových funkcí tak i L^2 součiny jejich rotací. Bázové funkce, které jsou gradienty skalárních funkcí, součin rotací nulují a tím se zjednodušuje struktura matice tuhosti. Jedním z důležitých cílů této práce je zjistit, jaké výhody a nevýhody má nová báze ve srovnání se standardní bází skládající se z Whitneyho hranových funkcí nejnižšího řádu (s konstantními tečnými složkami na hranách sítě).

Konstrukce nové báze zahrnuje řadu důležitých otevřených problémů. Zatímco gradientní část báze, tvořená gradienty standardních po částech lineárních funkcí užívajících se například pro eliptické úlohy 2. řádu, je jednoznačná, zbylé (negradientní) funkce mohou být definovány mnoha různými způsoby. Při jejich výběru lze použít například metodu maximálních stromů z teorie grafů. Ovšem nejsou k dispozici žádné výsledky porovnávající vlastnosti různých výběrů. Jedním z důležitých cílů této práce je vyšetřit právě vliv těchto výběrů na chování metody konečných prvků. Výsledky práce najdou důležité uplatnění ve výpočtech elektromagnetických polí a řešení sdružených úloh zahrnujících elektromagnetická pole. Výsledky práce budou ilustrovány na numerických experimentech.
Seznam odborné literatury
[1] I. Dolezel, P. Solin, M. Zitka, B. Ulrych: On Electromagnetic Stirring of Molten Metals, Acta Technica CSAV, 48, 2005, pp. 1 - 18.
[2] P. Monk: Finite Element Methods for Maxwell's Equations, Oxford University Press, Oxford, 2003
[3] P. Solin: Partial Differential Equations and the Finite Element Method, J. Wiley & Sons, 2005
[4] P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel: Higher-Order Finite Element Methods, Chapman & Hall/CRC Press, 2003
[5] P. Solin, L. Dubcova, J. Cerveny: Higher-Order Edge Elements Based on Generalized Eigenfunctions of the Curl-Curl Operator, Preprint No. 2007-06, Department of Mathematical Sciences, University of Texas at El Paso, 2007.
[6] T. Vejchodsky, P. Solin, M. Zitka: On Some Aspects of the hp-FEM for Time-Harmonic Maxwell's Equations. In: Numerical Mathematics and Advanced Applications (Proceedings of ENUMATH 2005; A. Bermudez, D. Gomez, P. Quintela, P. Salgado Eds.), Springer, 2006, pp. 691 - 699.
[7] T. Vejchodsky, P. Solin, M. Zitka: Modular hp-FEM System HERMES and Its Application to the Maxwell's Equations, Math. Comput. Sim., in press, doi:10.1016/j.matcom.2007.02.001.
Předběžná náplň práce
De Rhamův diagram je operátorové schema propojující prostory H1, H(curl) a L2 pomocí operátoru gradientu a rotace (ve dvou prostorových dimenzích) a prostory H1, H(curl), H(div) a L2 (ve 3D). Kompatibilita konečných prvků s De Rhamovým diagramem je důležitá pro smíšené a sdružené problémy řešené metodou konečných prvků. V diskretizaci Maxwellových rovnic pomocí metody konečných prvků se kompatibilita s De Rhamovým diagramem převádí na potřebu konstrukce báze prostoru konečných prvků mající dvě části: gradienty skalárních funkcí a vektorová pole, jež nejsou gradientem žádné skalární funkce. Hledání gradientní části báze prostoru konečných prvků je motivováno praktickými výpočty. Jedním z důležitých cílů této práce je zjistit, jaké výhody a nevýhody má nová báze ve srovnání se standardní bází skládající se z Whitneyho hranových funkcí nejnižšího řádu, a vyšetřit vliv výběru bázových funkcí na chování metody konečných prvků. Výsledky práce najdou důležité uplatnění ve výpočtech elektromagnetických polí a řešení sdružených úloh zahrnujících elektromagnetická pole.
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK