Diskrétní princip maxima v metodě konečných prvků prvního řádu

• Název práce v češtině: Diskrétní princip maxima v metodě konečných prvků prvního řádu
• Název v anglickém jazyce: The discrete maximum principle in the first order finite element method
• Akademický rok vypsání: 2008/2009
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Tomáš Vejchodský, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 04.12.2008
• Datum zadání: 04.12.2008
• Datum a čas obhajoby: 07.09.2010 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 07.09.2010
• Datum proběhlé obhajoby: 07.09.2010
• Oponenti: prof. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc.

Zásady pro vypracování

Řada lineárních i nelineárních eliptických parciálních diferenciálních
rovnic druhého řádu splňuje tzv. princip maxima. Například v nejjednodušším
případě Poissonovy rovnice s homogenními okrajovými podmínkami princip maxima
říká, že řešení bude nezáporné, pokud je nezáporná i pravá strana. Tato
vlastnost je velmi důležitá při modelování přirozeně nezáporných veličin,
jako je teplota, hustota, koncentrace, apod.

Je přirozené tento princip požadovat i pro přibližném řešení - mluvíme o
diskrétním principu maxima (DPM). Metoda konečných prvků bohužel DPM obecně
nesplňuje. Nicméně jsou známé jednoduché podmínky (nejčastěji na triangulaci
oblasti), které DPM garantují. Například pro 2D Poissonovu rovnici nám
klasický výsledek říká, že pokud není v triangulaci žádný tupý úhel, pak je
řešení metodou konečných prvků nezáporné pro libovolnou nezápornou pravou
stranu. A právě výsledky tohoto typu by diplomant studoval.

Problematika diskrétních principů maxima se studuje od 50-tých let
20. století a v dnešní době existuje mnoho výsledků. Úkolem diplomanta bude
sestavit přehled známých výsledků pro 1D, 2D a 3D úlohy a případně se pokusit
získat výsledek nový. Dosavadní výsledky je možno zobecňovat různými směry.
Je možné uvažovat komplikovanější úlohu (okrajové podmínky, nelinearity,
parabolické problémy, systémy, vyšší dimenze apod.), lze studovat
komplikovanější diskretizace (např. aproximace vyšších řádů) nebo se můžeme
pokusit navrhnout novou numerickou metodu, která na rozdíl od konečných prvků
diskrétní princip maxima bude splňovat automaticky.

Jde o zajímavé a velmi široké téma. Je možné (a vítané) v něm pokračovat
v rámci doktorského studia.

Postup prací:
- definice diskrétního principu maxima (dvě možnosti)
- obecná teorie (M-matice, diskrétní Greenova funkce)
- výpočet lokálních matic tuhosti a hmotnosti pro lineární konečné prvky v
* 1D (intervaly)
* 2D (trojúhelníky, obdélníky)
* 3D (čtyřstěny, šestistěny, trojboké hranoly, pyramidy)
* n-D (simplexy, produktové geometrie)
- formulace postačujících podmínek pro platnost diskrétního principu maxima
- případná zobecnění a vlastní výsledky

Pozn.: Práci doporučuji psát v angličtině.

Seznam odborné literatury

[1] Varga, R.S., Matrix iterative analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1962.
[2] Fiedler, M., Special matrices and their applications in numerical mathematics. Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, 1986.
[3] Gilbarg, D., Trudinger, N.S., Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.