Podmíněnost lineárních soustav v metodách konečných prvků vyšších řádů
| Název práce v češtině: | Podmíněnost lineárních soustav v metodách konečných prvků vyšších řádů |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Conditioning of linear systems in higher order finite element methods |
| Akademický rok vypsání: | 2015/2016 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra numerické matematiky (32-KNM) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Tomáš Vejchodský, Ph.D. |
| Řešitel: | |
| Oponenti: | doc. RNDr. Jan Zítko, CSc. |
| Konzultanti: | doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. |
| Zásady pro vypracování |
| V první fázi se student seznámí s technologií metod konečných prvků vyšších řádů, a to především s hp-verzí, kterou charakterizují různé polynomiální stupně na různých elementech. Zároveň student provede podrobnou rešerši stávající literatury a známých výsledků o podmíněnosti matice tuhosti (případně i matice hmotnosti) v metodě konečných prvků. Závěry rešerše student přehledným způsobem sepíše v první části své diplomové práce.
Těžištěm práce bude experimentální i teoretický výzkum závislosti čísla podmíněnosti matice tuhosti (případně i hmotnosti) na různých faktorech, především na volbě bázových funkcí. Student se zaměří na vliv následujících (ne nutně všech) možností: - vliv zvětšování nosiče bázových funkcí (v případě metody prvního řádu) - vliv normování bázových funkcí na jedničku (student ukáže ekvivalenci s diagonálním předpodmíněním) - vliv statické kondenzace vnitřních stupňů volnosti (ukáže se, že při použití této techniky číslo podmíněnosti nezávisí na volbě tzv. bublinových bázových funkcí) - Ve světle zjištěných faktů se může student pokusit o optimalizaci hranových a vrcholových bázových funkcí. Dále student zjistí, jak výše uvedené manipulace s bázovými funkcemi ovlivní závislost čísla podmíněnosti matice tuhosti na: - rovnoměrném zjemňování sítě (jednak zjemňování v \"h\" a jednak v \"p\") - nerovnoměrném (adaptivním) zjemňování sítě (opět v \"h\", v \"p\", příp. v \"hp\") Matice tuhosti (případně hmotnosti) pro numerické experimenty budou získávany pomocí C++ systému Hermes, který je vyvíjen na spolupracující University of Texas at El Paso, USA. V tématu lze pokračovat i v navazujícím Ph.D. studiu. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Michal Křížek, Karel Segeth: Numerické modelování problémů elektrotechniky, skriptum KNM MFF UK, Karolinum, 2001.
[2] Pavel Šolín: Partial differential equations and the finite element method. John Wiley & Sons, Hoboken, 2006. [3] Pavel Šolín, Karel Segeth, Ivo Doležel: Higher-order finite element methods. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004. |