Dělitelnost v okruzích

• Název práce v češtině: Dělitelnost v okruzích
• Název v anglickém jazyce: The Divisibility Relation in Rings
• Klíčová slova: Okruh|obor integrity|relace dělitelnosti|ideál|ireducibilní prvky a prvočísla
• Klíčová slova anglicky: Ring|integer domain|the divisibility relation|irreducibles and primes
• Akademický rok vypsání: 2020/2021
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra logiky (21-KLOG)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Vítězslav Švejdar, CSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 22.02.2021
• Datum zadání: 23.02.2021
• Schválení administrátorem: zatím neschvalováno
• Datum potvrzení stud. oddělením: 01.08.2022
• Datum a čas obhajoby: 05.09.2022 11:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 01.08.2022
• Datum proběhlé obhajoby: 05.09.2022
• Odevzdaná/finalizovaná: odevzdaná studentem a finalizovaná
• Oponenti: Mgr. Pavel Arazim, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Dělitelnost je primárně zkoumána v oboru přirozených nebo celých čísel. Má ale dobrý smysl ji zkoumat i obecně v okruzích či (raději) oborech integrity. Nejčastěji uvažované obory integrity jsou struktura Z celých čísel a struktura Q[x] polynomů s racionálními koeficienty v jedné proměnné. V obou těchto oborech integrity navíc platí Bezoutova věta. Vypracujte vlastní verzi teorie dělitelnosti v oborech integrity (okruzích). Kromě dvou klasických českých učebnic od Kořínka a od Procházky vyhledejte i další (novější) zdroje týkající se konstrukce okruhů. Prostudujte relevantní části bakalářské práce Katrin Přikrylové. Uvažujte, jak dělitelnost dopadne v oborech integrity, v nichž Bezoutova věta neplatí, a jak takové obory integrity lze vůbec sestrojit. Věnujte též pozornost jiným dodatečným axiomům, jako je například distributivita násobení vůči největšímu společnému děliteli, a jejich vztahu k Bezoutově větě. Podle vlastní úvahy věnujte pozornost případně i některým z následujících otázek. Jaké byly historické motivy zkoumat tuto problematiku? Co lze říci o algoritmické složitosti některých úloh (dělení se zbytkem, čínská zbytková věta) v okruzích jiných než struktura celých čísel, například v už zmíněném okruhu Q[x]? Změní se něco v teorii dělitelnosti v případě, kdy se podkladovou logikou stane intuicionistická logika?

Seznam odborné literatury

[DF04] David S. Dummit a Richard M. Foote. Abstract algebra. John Wiley and Sons, 2004.
[Koř56] Vladimír Kořínek. Základy algebry. Academia, 1956.
[Pro90] Ladislav Procházka. Algebra. Academia, 1990.
[Při13] Katrin Přikrylová. Pojem ideálu a filtru v algebře a logice. Bakalářská práce, Katedra logiky Filozofické fakulty, Karlova Univerzita v Praze, 2013.