Riešiteľ/ka sa zoznámi s pojmom zonoidu miery a jeho rozšírením - lift zonoidom. Obe definície budú porovnané z teoretického hľadiska a na príkladoch jednoduchých viacrozmerných mier. Významnou časťou práce bude skúmanie podmienok, za akých je konvexná množina zonoidom.
Seznam odborné literatury
vybrané časti z
Gardner, R. J. Geometric tomography. Second edition. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 58. Cambridge University Press, New York, 2006. xxii+492 pp.
Mosler, K. Multivariate dispersion, central regions and depth: The lift zonoid approach. Lecture Notes in Statistics, 165. Springer-Verlag, Berlin, 2002. xii+291 pp.
Bolker, E. D. A class of convex bodies. Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 323-345.
Předběžná náplň práce
Zonoidy sú špeciálne symetrické konvexné množiny v d-rozmernom priestore, ktoré je možné napísať ako limitný prípad "súčtu úsečiek". Zonoidy majú významné aplikácie v geometrii, funkcionálnej analýze, alebo aj teórii miery, pravdepodobnosti a štatistike. V teórii miery napríklad každej (integrovateľnej) miere P je možné kanonicky priradiť zonoid ako množinu vhodne volených integrálov voči P. Takéto zobrazenie má radu zaujímavých vlastností. Nie je však prosté, čo znamná že môžu existovať rôzne miery so zhodnými zonoidmi. Riešením tohto problému je tzv. lift zonoid, čo je zonoid istej transformácie miery P. Lift zonoidy už integrovateľné miery popisujú jednoznačne. Je teda možné budovať "teóriu pravdepodobnosti založenú na (lift) zonoidoch" - silný, ale málo preskúmaný prístup k popisu viacrozmerných pravdepodobnostných distribúcií. Témou práce bude popis konštrukcie zonoidov a lift zonoidov mier, a ich porovnanie. Špeciálnu pozornosť budeme venovať vlastnostiam, za ktorých vieme povedať, že daná symetrická konvexná množina je zonoidom.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
Zonoids are special symmetric convex sets in d-dimensional space that can be written as limits of "sums of line segments". Zonoids have important applications in geometry, functional analysis, and also measure theory, probability, and statistics. In measure theory, for instance, each (properly integrable) measure P can be assigned a zonoid given by the set of certain integrals with respect to P. Such a mapping has an array of interesting properties. But, it is not injective, which means that there are different measures with the same zonoids. A solution to this problem is the so-called lift zonoid, which is a zonoid of a certain transform of P. Lift zonoids do uniquely characterize integrable measures. Therefore, it is possible to build "probability theory based on (lift) zonoids" - a surprisingly powerful, yet little studied approach to the description of multivariate probability distributions. The topic of this thesis is the construction of zonoids and lift zonoids, and their comparison. Especially, we will be interested in conditions, under which we can guarantee that a given symmetric convex set is a zonoid.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.