Separabilita funkce intenzity Poissonova bodového procesu

• Název práce v češtině: Separabilita funkce intenzity Poissonova bodového procesu
• Název v anglickém jazyce: Separability of the intensity function of a Poisson point process
• Klíčová slova: Poissonův bodový proces, funkce intenzity, separabilita, exponenciální model
• Klíčová slova anglicky: Poisson point process, intensity function, separability, exponential model
• Akademický rok vypsání: 2019/2020
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS)
• Vedoucí / školitel: RNDr. Jiří Dvořák, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 08.10.2019
• Datum zadání: 09.10.2019
• Datum potvrzení stud. oddělením: 21.11.2019
• Datum a čas obhajoby: 14.07.2020 08:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 03.06.2020
• Datum odevzdání tištěné podoby: 04.06.2020
• Datum proběhlé obhajoby: 14.07.2020
• Oponenti: RNDr. Michaela Prokešová, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Student/ka se seznámí se základy teorie bodových procesů se zaměřením na Poissonův bodový proces a jeho momentové vlastnosti (funkci intenzity). Bude řešit otázku, jak poznat na základě pozorované realizace, zda je funkce intenzity separabilní , t.j. v součinovém tvaru. Právě pro Poissonův bodový proces je možné sestavit formální test této hypotézy. Bude se zabývat i možností vizuálního posouzení separability na základě vhodného zobrazení pečlivě vybraných sumárních charakteristik. Výchozím modelem bude proces v R^2, zobecnění na časoprostorový proces řekněme v R^2 x R je možné, ale ne nutné.

Seznam odborné literatury

[1] A. Baddeley, I. Barany, R. Schneider, W. Weil (2006) Stochastic Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13-18, 2004 (Lecture Notes in Mathematics / C.I.M.E. Foundation Subseries), Springer.

[2] J. Møller, M. Ghorbani (2012) Aspects of second-order analysis of structured inhomogeneous spatio-temporal point processes. Statistica Neerlandica 66, 472-491.

[3] M. Prokešová, J. Dvořák (2014) Statistics for inhomogeneous space-time shot-noise Cox processes. Methodology and Computing in Applied Probability 16, 433-449.

Předběžná náplň práce

Bodový proces je model pro náhodnou konfiguraci bodů v rovině či prostoru vyšší dimenze (konkrétně jde o náhodnou lokálně konečnou množinu). Body procesu mohou vykazovat tendence ke shlukování (přitažlivé interakce) nebo regularitě (odpudivé interakce). Poissonův bodový proces je základním modelem pro situaci bez interakcí mezi dvojicemi bodů. Pokud Poissonův proces má funkci intenzity, je jeho rozdělení touto funkcí intenzity zcela určeno.
V případě studia časoprostorových bodových procesů (kde body mají prostorovou i časovou souřadnici) se často předpokládá separabilita funkce intenzity daného procesu. Tento předpoklad umožňuje pracovat se složitějšími charakteristikami. Předpoklad separability však bývá učiněn bez formálního posouzení. V literatuře není dostupný formální test hypotézy separability ani metody vizuálního posouzení. Je proto žádoucí takové postupy najít. Pro Poissonův proces je možné sestavit formální test založený na permutační strategii, pro jiné modely to zřejmě možné není. Proto je zajímavé se pokusit navrhnout alespoň vizuální metody posouzení separability.
Ačkoliv motivace přichází z oblasti časoprostorových bodových procesů, v této bakalářské práci budeme, alespoň zpočátku, pracovat s procesy v R^2, u kterých je snadnější vizualizace problému. Zobecnění na časoprostorové procesy v rámci této práce je možné, ale není nutné.