Perzistence v přesně řešitelném modelu náhodné procházky

• Název práce v češtině: Perzistence v přesně řešitelném modelu náhodné procházky
• Název v anglickém jazyce: Persistence in an exactly solvable random walk model
• Klíčová slova: perzistence, čas prvního dosažení, náhodné procházky
• Klíčová slova anglicky: persistence, first passage time, random walks
• Akademický rok vypsání: 2022/2023
• Typ práce: diplomová práce
• Ústav: Katedra fyziky kondenzovaných látek (32-KFKL)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Tomáš Novotný, Ph.D.
• Konzultanti: RNDr. Karel Netočný, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Práce určená pro teoreticky zaměřené studenty je provede archetypálním průběhem teoretického projektu - formulace problému, řešení zjednodušeného modelu, fyzikální interpretace výsledků a jejich případné zobecnění za rámec studovaného modelu. Postup řešení bude probíhat v následujících praktických krocích:

1. Seznámení se s problémem perzistence, studium odborné literatury
2. Formulace zjednodušeného modelu a nalezení přesné integrální rovnice pro pravděpodobnostní hustotu
3. Numerické řešení integrální rovnice a zkoumání jeho závislosti na parametrech modelu
4. Porovnání přesných výsledků s predikcí aproximace nezávislých intervalů (IIA) a idetifikace IIA v jazyce přesné integrální rovnice
5. Interpretace získaných poznatků a jejich případné zobecnění za rámec studovaného modelu
(6. Prezentace výsledků ve formě odborného článku)

Seznam odborné literatury

[1] Alan J. Bray, Satya N. Majumdar, and G. Schehr, Persistence and First-Passage Properties in Non-equilibrium Systems, Advances in Physics, Volume 62, No.3, pp 225-361 (2013); http://arxiv.org/abs/1304.1195
[2] Sidney Redner, A Guide to First-Passage Processes, Cambridge University Press (2001)
[3] Joachim Krug, Records in a changing world, J. Stat. Mech. (2007) P07001; http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2007/07/P07001/meta
[4] M. Deforet, V. Hakim, H.G. Yevick, G. Duclos, and P. Silberzan, Emergence of collective modes and tri-dimensional structures from epithelial confinement, Nature Communications 5, 3747 (2014); http://www.nature.com/ncomms/2014/140506/ncomms4747/full/ncomms4747.html , https://www.youtube.com/watch?v=poAHNuCQ_7I
[5] Markus Nyberg, Tobias Ambjörnsson, and Ludvig Lizana, A simple method to calculate first-passage time densities of non-smooth processes, New J. Phys. 18, 063019 (2016)

Předběžná náplň práce

Teorie perzistence, která je součástí stochastického kalkulu, studuje přežití (tj. perzistenci) struktur v obecně nerovnovážných systémech, jejichž dynamika je ovlivněna šumem [1]. Příkladem může být růst, agregace a zánik částic (ať již fyzikálních či biologických - bakterie) na površích nebo doba pohybu částice pohybující se náhodně v jedné dimenzi v daném směru. Matematicky je perzistence vztažena k teorii času prvního dosažení ("first passage time") [2] a teorii extrémů a rekordů [3], fyzikálně pak nachází široké uplatnění v rozličných problémech nerovnovážné statistické fyziky (např. fyzika povrchů, biofyzika apod.). Ačkoliv je navržené téma původně motivováno motilitou vícebuněčných organismů [4], jde o obecný matematický problém s hlubším přesahem do teorie perzistence.

Projekt studuje perzistenci rychlosti částice s jednoduchou lineární dynamikou (Ornstein-Uhlenbeckův proces) pod vlivem barevného šumu modelovaného opět jako OU proces. Pro tento model lze napsat přesnou integrální rovnici pro pravděpodobnostní hustotu, jejíž numerické řešení bude porovnáno s velmi populární a také nesmírně úspěšnou aproximací nezávislých intervalů ("independent interval approximation") [1, Sec. 8; 5]. Na základě tohoto srovnání bude interpretována míra platnosti IIA a detailně identifikováno její jádro ve studovaném modelovém systému. Získané porozumění pak bude použito k zobecnění statutu IIA za rámec studovaného zjednodušeného modelu.