Estimation of the algebraic error and stopping criteria in numerical solution of partial differential equations

• Název práce v češtině: Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic
• Název v anglickém jazyce: Estimation of the algebraic error and stopping criteria in numerical solution of partial differential equations
• Klíčová slova: numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic, chyba diskretizace, algebraická chyba, odhady chyby, lokální chování chyby, adaptivita
• Klíčová slova anglicky: numerical PDE, discretization error, algebraic error, error estimates, locality of the error, adaptivity
• Akademický rok vypsání: 2013/2014
• Typ práce: rigorózní práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 23.01.2014
• Datum zadání: 23.01.2014
• Datum potvrzení stud. oddělením: 23.01.2014
• Datum a čas obhajoby: 13.02.2014 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 23.01.2014
• Datum odevzdání tištěné podoby: 23.01.2014
• Datum proběhlé obhajoby: 13.02.2014

Zásady pro vypracování

Zahrnutí algebraické chyby do a posteriori odhadů chyb při numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic představuje relativně novou a rychle se rozvíjející oblast výzkumu. Práce bude zaměřena zejména na:

1. Vysvětlení souvislosti mezi diskretizační a algebraickou chybou;
2. Přehled odhadů algebraické chyby s návrhem možné adaptivní strategie;
3. Efektivní implementaci odhadů chyby a zastavovacího kritéria na zvoleném příkladu.

Seznam odborné literatury

Strakoš, Z., Tichý, P.: On error estimation in the conjugate gradient method and why it works in finite precision computations. Electron. Trans. Numer. Anal. 13, 56-80 (2002).
Strakoš, Z., Tichý, P.: Error estimation in peconditioned conjugate gradients. BIT Numerical Mathematics 45, 789-817 (2005).
Meurant, G., Strakoš, Z.: The Lanczos and conjugate gradient algorithms in finite precision arithmetic. Acta Numerica 15, 471-542 (2006).
Ainsworth, M., Oden, J. T.: A posteriori error estimation in finite element analysis. Pure and Applied Mathematics (New York), Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, (2000).
Arioli, M.: A stopping criterion for conjugate gradient algorithm in a finite element method framework. Numer. Math. 97, 1 - 24, (2004).
Arioli, M., Loghin, D.: Stopping criteria for mixed finite element problems. Electron. Trans. Numer. Anal. 29 (2007/2008), 178 - 192.
Becker, R.: An adaptive finite element method for the Stokes equations including control of the iteration error. ENUMATH 97 (Heidelberg), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 609 - 620, (1998).
Becker, R., Johnson, C., Rannacher, R.: Adaptive error control for multigrid finite element methods. Computing 55 (1995), 271 - 288.
Deuflhard, P.: Cascading conjugate gradient methods for elliptic partial differential equations: algorithm and numerical results. Domain decomposition methods in scientific and engineering computing (University Park, PA, 1993), vol. 180 of Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 29 - 42, (1994).
Meidner, D., Rannacher, R., Vihharev, J.: Goal-oriented error control of the iterative solution of finite element equations. J. Numer. Math., (2009).
Jiránek, P., Strakoš, Z., Vohralík, M.: A posteriori error estimates including algebraic error: computable upper bounds and stopping criteria for iterative solvers, submitted to SISC, in revision (2009).

Předběžná náplň práce

Zahrnutí algebraické chyby do a posteriori odhadů chyb při řešení parciálních diferenciálních rovnic představuje
relativně novou a rychle se rozvíjející oblast výzkumu.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

Including algebraic error into a posteriori error estimates in numerical solution of partial differential equations represents a relatively new and fast developing area of research.