Discontinuous Galerkin method for the solution of boundary-value problems in non-smooth domains
| Název práce v češtině: | Discontinuous Galerkin method for the solution of boundary-value problems in non-smooth domains |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Discontinuous Galerkin method for the solution of boundary-value problems in non-smooth domains |
| Klíčová slova: | nelineární eliptický problém, hraniční singularity, metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, numerická kvadratura |
| Klíčová slova anglicky: | nonlinear elliptic problem, boundary singularities, finite element method, discontinuous Galerkin method, numerical quadrature |
| Akademický rok vypsání: | 2015/2016 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | angličtina |
| Ústav: | Katedra numerické matematiky (32-KNM) |
| Vedoucí / školitel: | prof. RNDr. Miloslav Feistauer, DrSc., dr. h. c. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 11.03.2016 |
| Datum zadání: | 11.03.2016 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 02.05.2016 |
| Datum a čas obhajoby: | 14.09.2017 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 18.07.2017 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 21.07.2017 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 14.09.2017 |
| Oponenti: | prof. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc. |
| Zásady pro vypracování |
| Práce se bude zabývat numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic s hraničními singularitami nespojitou Galerkinovou metodou.
Pozornost bude věnována následujícím otázkám: 1) Formulace eliptických a parabolických problémů v oblastech s nehladkými hranicemi 2) Charakterizace řešení v okolí hraničních singularit pomocí Sobolevových-Sloboděckého prostorů a Sobolevových prostorů s vahou 3) Diskretizace pomocí nespojité Galerkinovy metody 4) Odvození odhadů optimálních chyby užitím vhodného zjemnění sítě 5) Ilustrace výsledků pomocí numerických experimentů |
| Seznam odborné literatury |
| M. Feistauer, A.-M. Saendig: Graded mesh refinement and error estimates of higher order for DGFE solutions of elliptic boundary value problems in polygons. Numer. Methods Partial Differential Eq 28 (2012) 1124-1151.
T.P. Wihler: Discontinuous Galerkin FEM for elliptic problems in polygonal domains. PhD Thesis, ETH Zuerich, 2002. Th. Apel: Anisotropic finite elements: local estimates and applications. Teubner, Stuttgart, 1999. |
| Předběžná náplň práce |
| Práce se bude zabývat numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic s hraničními singularitami, kterými mohou být např. rohy nebo hrany na hranici výpočetní oblasti. V okolí těchto bodů nebo hran ztrácí přesné řešení svoji regularitu, což má za následek, že standardní odhady chyby metody konečných prvků neplatí a chování chyby je podstatně horší. V práci bude analyzována metoda zjemňování výpočetní sítě, která povede k optimálním odhadům chyby nespojité Galerkinovy metody, získávaných ve standardní teorii metody konečných prvků za předpokladu dostatečně regulárního řešení. Teoretická analýza bude založena na použití Sobolevových-Sloděckého prostorů a Sobolevových prostorů s vahou. Teoretické výsledky budou doplněny numerickými experimenty.
Práce je součástí spolupráce s partnerskou univerzitou ve Stuttgartu. Konzultantkou bude Prof. Dr. Anna-Margarete Saendig z této univerzity. |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| The thesis will be concerned with numerical solution of partial differential equations with boundary singularities, which may be, e.g., corners or edges on the boundary of a computational domain. In a neighbourhood of these points and edges, the exact solution looses its regularity, which leads to the decrease of order of convergence of the method. The thesis will be concerned with the analysis of the graded mesh refinement technique in the discontinuous Galerkin method, leading to optimal error estimates obtained in the standard finite element theory under the assumption of a sufficient regularity of the exact solution. Theoretical analysis will be carried out with the aid of Sobolev-Slobodetskii spaces and weighted Sobolev spaces. Theoretical results will be completed by numerical experiments.
The work is a part of the cooperation with the partner University of Stuttgart. A consultant will be Prof. Dr. Anna-Margarete Saendig from this university. |