Deterministické a stochastické modely v molekulární a buněčné biologii

• Název práce v češtině: Deterministické a stochastické modely v molekulární a buněčné biologii
• Název v anglickém jazyce: Deterministic and stochastic models in molecular and cell biology
• Akademický rok vypsání: 2011/2012
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Tomáš Vejchodský, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 11.11.2011
• Datum zadání: 11.11.2011
• Datum potvrzení stud. oddělením: 20.12.2011
• Datum a čas obhajoby: 17.09.2012 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 03.08.2012
• Datum odevzdání tištěné podoby: 03.08.2012
• Datum proběhlé obhajoby: 17.09.2012
• Oponenti: prof. Lev Klebanov, DrSc.

Zásady pro vypracování

Téma této diplomové práce je motivováno biochemickými procesy v živých buňkách. Student bude seznámen s konkrétním systémem chemických reakcí (např. s modelem genetické regulace). Úkolem studenta bude vytvořit deterministický (klasický) dynamický model tohoto systému pomocí obyčejných diferenciálních rovnic, provést jeho bifurkační analýzu a získat jeho numerické řešení (např. pomocí systému Matlab).

Těžištěm práce bude porovnání deterministického modelu se stochastickým. Stochastický model je založený na tzv.
chemické Langevilově rovnici, což je stochastická diferenciální rovnice. Řešení této rovnice lze efektivně simulovat pomocí Gillespieho stochastického simulačního algoritmu, který student též naprogramuje. Z těchto stochastických simulací lze získat všechny důležité parametry o dynamice studovaného systému, avšak za cenu velmi vysoké náročnosti na výpočetní čas. Efektivnější způsob představuje (numerické) řešení příslušné Fokkerovy-Planckovy rovnice.

Oba modely budou porovnávány v různých parametrických režimech a to především v okolí bifurkačních bodů deterministického modelu. Bude se sledovat, jak se bifurkace deterministického modelu projevují ve stochastickém modelu.

Seznam odborné literatury

R. Erban, J. Chapman, I. Kevrekidis and T. Vejchodsky,
Analysis of a stochastic chemical system close to a SNIPER bifurcation of its mean-field model,
SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 70, Number 3, pp. 984--1016 (2009)

R. Erban, J. Chapman and P. Maini,
A practical guide to stochastic simulations of reaction-diffusion processes,
Lecture Notes, available as http://arxiv.org/abs/0704.1908, 35~p. (2007)

T. Kepler and T. Elston,
Stochasticity in Transcriptional Regulation: Origins, Consequences, and Mathematical Representations,
Biophysical Journal, Volume 81, pp.~3116--3136 (2001)

R. Erban, I. Kevrekidis, D. Adalsteinsson and T. Elston,
Gene regulatory networks: a coarse-grained, equation-free approach to multiscale computation,
Journal of Chemical Physics, Volume 124, Issue 8, 084106, 17 pages (2006)

S. Kar, W. Baumann, M. Paul and J. Tyson,
Exploring the roles of noise in the eukaryotic cell cycle,
Proceedings of the National Academy of Sciences USA, Volume 106, pp.~6471--6476 (2009)

J. Villar, H. Kueh, N. Barkai and S. Leibler, Mechanisms of noise-resistance in genetic oscillators,
Proceedings of the National Academy of Sciences USA, Volume 99, pp.~5988--5992 (2002)

Předběžná náplň práce

V této diplomové práci se budeme zabývat matematickými modely biochemických procesů, které se odehrávají v živých buňkách. Jejich klasický (deterministický) popis založený na soustavě obyčejných diferenciálních
rovnic (ODR) selhává. Důvodem je, že množství některých klíčových bílkovin nebo mRNA
se v buňkách měří na řádově jednotky molekul a pak lze těžko mluvit o koncentracích.
Proto se používají různé stochastické simulační algoritmy jako například molekulární simulace a Gillespieho stochastický algoritmus. Při modelování biochemických procesů v buňkách můžeme pozorovat
kvalitativně rozdílné chování deterministických a stochastických modelů. Příkladem jsou modely genetické regulace, buněčného cyklu nebo \cirkadiánních rytmů.

Z pohledu matematického modelování jde o velmi bohatou oblast s celou řadou otevřených problémů. Problematiku lze zkoumat z různých směrů pomocí různých matematických a výpočetních nástrojů. Je možné se věnovat vývoji a analýze stochastických simulačních algoritmů pomocí vhodných parciálních diferenciálních
rovnic (PDR) -- například tzv. Fokker-Planckovy rovnice. Z numerického řešení těchto PDR lze získat některé praktické informace o studovaném systému, například periodu oscilací, střední čas změny stavu, apod. Je možné porovnávat a analyzovat různé deterministické (ODR) a stochastické
modely. Nejzajímavější je studium jejich bifurkací. Stochastické simulační algoritmy sice dávají podrobnější informaci o studovaném systému, ale jsou velmi náročné na počítačový čas. Proto je třeba
vyvíjet efektivní numerické metody.

Student, který by se této problematice chtěl věnovat, se bude muset seznámit s deterministickými a stochastickými modely chemických systémů. Měl by být schopen naprogramovat jednoduché modely a porovnat jejich výsledky. Konkrétní zaměření diplomové práce bude upřesněno podle
individuálních zájmů studenta. Lze se věnovat numerickým metodám pro PDR, matematickému modelování, analýze PDR nebo stochastické analýze.

Externími konzultanty této diplomové práce by byli Dr. Radek Erban z university v Oxfordu (Velká Británie)
a další spolupracovníci. Během práce na tomto tématu by bylo možné zrealizovat pracovní návštěvu vědecké
skupiny Dr. Erbana na universitě v Oxfordu.