Lineární algebra 2 - NMAI058

• Anglický název: Linear Algebra 2
• Zajišťuje: Katedra aplikované matematiky (32-KAM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2019
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: letní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.; doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.
• Třída: Informatika Bc.
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
• Je neslučitelnost pro: NALG086, NUMP004, NUMP003

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KAM (17.02.2010)

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.

angličtina

Poslední úprava: FIALA/MFF.CUNI.CZ (17.02.2010)

Continuation of MAI057 - special matrices, determinants, eigenvalues, examples of applications of linear algebra.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (19.01.2024)

K zápočtu je třeba získat alespoň 120 bodů z celkových 240 bodů udělovaných během semestru za písemné testy, řešení domácích úloh a aktivitu na hodinách.

Studenti, kteří do konce výuky získají alespoň 80 bodů, mohou doplnit potřebné body vyřešením dodatečných domácích úloh nebo složením dodatečného písemného testu (dle pokynů cvičícího).

V důvodných případech (dlouhodobá nemoc, pobyt v zahraničí, apod.) může cvičící stanovit individuální podmínky na udělení zápočtu.

Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

angličtina

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (19.01.2024)

To get the tutorial credit, it is necessary to get at least 120 points (out of 240 possible). Points can be obtained throughout the semester from tests and homework assignments.

Those students who get at least 80 points can obtain the required points by solving additional homeworks or passing an additional test (according to the teacher's instructions).

In specific situations (long-term illness, stay abroad, etc.) the tutorial teacher may set individual conditions for obtaining the credit.

Obtaining the tutorial credit is a necessary condition for taking the exam.

Literatura

čeština

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (01.10.2019)

J. Bečvář. Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, 3. vydání, 2005.

L. Bican. Lineární algebra a geometrie. Academia, Praha, 2. vydání, 2009.

M. Hladík. Lineární algebra (nejen) pro informatiky, Matfyzpress, Praha, 1. vydání, 2019.

J. Rohn. Lineární algebra a optimalizace. Karolinum, Praha, 2004.

J. Tůma. Texty k pednásce Lineární algebra, 2003, http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/NNlinalg.htm

angličtina

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (22.11.2012)

W. Gareth. Linear Algebra with Applications. Jones and Bartlett Publishers, Boston, 4th edition, 2001.

C. D. Meyer. Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM, Philadelphia, PA, 2000. http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html

G. Strang. Linear algebra and its applications. Thomson, USA, 4rd edition, 2006.

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Jan Hubička, Ph.D. (13.06.2022)

Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, v jakém byl pokryt na přednáškách, cvičeních a určeném samostudiu. Je požadována i schopnost aplikovat získané znalosti při řešení příkladů.

Zkouška může mít písemnou nebo ústní podobu, nebo kombinaci obojího.

Zkouška může mít kontaktní nebo distanční formu.

Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

U zkoušky může být přihlédnuto k výsledku testů psaných v období výuky.

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. Jan Hubička, Ph.D. (13.06.2022)

There will an examination consisting of a written and oral part.

The written part involves several exercises. The oral part involves discussion of solutions to the set problems and additional questions on topics covered in lectures and classes.

Result of tests accomplished during the teaching period may be taken into account at the exam.

Class credits ("zapocet") are prerequisite for taking the examination

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (28.03.2022)

Prostory se skalárním součinem:

• norma indukovaná skalárním součinem

• Pythagorova věta, Cauchyho-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost

• ortogonální a ortonormální systémy vektorů, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace

• ortogonální doplněk, ortogonální projekce

• metoda nejmenších čtverců

• ortogonální matice

Determinanty:

• základní vlastnosti determinantu

• Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo

• adjungovaná matice

• geometrická interpretace determinantu

Vlastní čísla a vlastní vektory:

• základní vlastnosti, charakteristický polynom

• Cayleyho-Hamiltonova věta

• podobnost a diagonalizovatelnost matic, spektrální rozklad, Jordanova normální forma

• symetrické matice a spektrální rozklad,

• (volitelně) matice společnice, odhad a výpočet vlastních čísel: Gerschgorinovy disky a mocninná metoda

Positivně semidefinitní a positivně definitní matice:

• charakterizace a vlastnosti

• metody na testování: rekurentní vzoreček, Choleského rozklad, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium

• vztah se skalárním součinem

Bilineární a kvadratické formy:

• maticové vyjádření, vliv změny báze na matici

• Sylvestrův zákon setrvačnosti, diagonalizace, polární báze

Rozšiřující témata (volitelně):

• vlastní čísla nezáporných matic

• maticové rozklady: Householderova transformace, QR, SVD, Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice

angličtina

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (28.03.2022)

Inner product spaces:

• norm induced by an inner product

• Pythagoras theorem, Cauchy-Schwarz inequality, triangle inequality

• orthogonal and orthonormal system of vectors, Fourier coefficients, Gram-Schmidt orthogonalization

• orthogonal complement, orthogonal projection

• the least squares method

• orthogonal matrices

Determinants:

• basic properties

• Laplace expansion of a determinant, Cramer's rule

• adjugate matrix

• geometric interpretation of determinants

Eigenvalues and eigenvectors:

• basic properties, characteristic polynomial

• Cayley-Hamilton theorem

• similarity and diagonalization of matrices, spectral decomposition, Jordan normal form

• symmetric matrices and their spectral decomposition

• (optionally) companion matrix, estimation and computation of eigenvalues: Gershgorin discs and power method

Positive semidefinite and positive definite matrices:

• characterization and properties

• methods: recurrence formula, Cholesky decomposition, Gaussian elimination, Sylvester's criterion

• relation to inner products

Bilinear and quadratic forms:

• forms and their matrices, change of a basis

• Sylvester's law of inertia, diagonalization, polar basis

Topics on expansion (optionally):

• eigenvalues of nonnegative matrices

• matrix decompositions: Householder transformation, QR, SVD, Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix