Matematická analýza III - ORMA10308

• Anglický název: Functions of several variables
• Zajišťuje: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Fakulta: Pedagogická fakulta
• Platnost: od 2019
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Způsob provedení zkoušky: zimní s.:
• Rozsah, examinace: zimní s.:0/0, Z+Zk [HS]
• Rozsah za akademický rok: 17 [hodiny]
• Počet míst: neurčen / neurčen (50)
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Poznámka: předmět je možno zapsat mimo plán; povolen pro zápis po webu; při zápisu přednost, je-li ve stud. plánu
• Garant: prof. RNDr. Ladislav Kvasz, DSc., Dr.; RNDr. František Mošna, Ph.D.

Anotace

čeština

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Vektorové prostory, okolí bodu, konvergence, funkce několika proměnných, limity, spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, diferenciál, tečné roviny, normály, implicitně zadaná funkce, křivky, plochy, transformace souřadnic, vícenásobný integrál, substituce, Fubiniova věta, křivkový a plošný integrál, užití.

angličtina

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Vector spaces, neighbourhood of a point, convergence, functions of several variables, limits, continuity, directional derivative, partial derivatives, differential, tangent planes, normals, implicit function, curves, surfaces, transformation of coordinates, multidimensional integral, substitution, Fubini theorem, curvilinear and surface integrals, application.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Primárním cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy, vědomostmi a souvislostmi infinitesimálního počtu funkcí dvou a více proměnných v návaznosti na podobné kurzy o funkcích jedné proměnné. Sekundárním cílem je prověřit, zopakovat a upevnit znalosti z předcházejících kurzů zejména z matematické analýzy ale též geometrie (křivky, plochy) nebo algebry (vektorové prostory, lineární, kvadratické formy).

angličtina

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Primary purpose of the course is to make students acquainted with basic ideas, knowledges and connections of infinitesimal calculus of two or more variables functions in relation with similar courses on one variable functions. Secondary aim is to prove, repetite and fix knowledges of previous courses especially from mathematical analysis, but from geometry (curves, surfaces) or algebra (vector space, linear, quadratic forms) as well.

Literatura

čeština

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

• Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987

• Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976

• Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha)

• Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha)

• Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha)

• Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha)

• Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.)

• Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha)

• Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha)

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Přednáška a cvičení.

angličtina

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Lecture and seminar.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Úvodní část

• opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice obecné, směrnicové a parametrické, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce

• konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.

Diferenciální počet

• reálné funkce více proměnných (R2->R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost

• derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Fr?chetova derivace), vzájemné vztahy, věty o derivacích a diferenciálu (protipříklady), gradient (V) - geometrický význam

• derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta

• extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)

• Banachova věta o pevném bodu, věta o implicitně zadané funkci, počítání derivací, diferenciálů, tečen, tečných rovin

• transformace souřadnic (R2->R2, R3->R3) - polární, (cylindrické), sférické

Integrální počet

• vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubiniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu

• křivky v R2 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta

• křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála

• plochy v R3 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečná rovina, normála, obsah (povrch koule, plášť kužele), body na ploše (eliptické, hyperbolické,..., asymptotické směry), divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.

angličtina

Poslední úprava: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (09.06.2010)

Introduction

• repetition - linear vector spaces, scalar, vector and outer product (geometric meaning, determinants), lines - general form, slope-intercept form, parametric form, parametrization corresponding with longitude, planes, functions

• convergency, neighbourhood, distance of points (metrics, norm - euclid, sum, maximum), points - inner, outer, border, limit, isolated, sets - open, closed, bounded, convex, connex, compact, area.

Differential calculus

• real functions of several variables (R2->R), domain, level sets, cross-sections, limit (over a set, over domain), continuity

• derivative in direction(Gâteaux differential and derivative), partial derivative, total differential (Frechet derivative), interrelations, theorems on derivatives and differential (counterexamples), gradient (V) - geometric meaning

• higher order derivatives (exchange of mixed second derivatives), second differential, Taylor theorem

• extremes local, absolut, constraint extremes (substitut method and Lagrange multipliers)

• Banach fixed point theorem, implicit function theorem, calculating of derivatives, differentials, tangents, tangent planes

transformation of coordinates (R2->R2, R3->R3) - polar, (cylindric), spheric

Integral calculus

• multiple (double, triple) integral, calculating of an area (disc), volume (ball, cone), centre of gravity (triangle, tetrahedron), moments, Fubini theorem, substitute theorem - connection of determinants with volume and area

• curves in R2 (explicit, implicit, parametric form), tangent, normal, longitude of a curve (circle), divergence, (3. coordinate of curl), curve integral, Green theorem

• křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála

surfaces in R3 (explicit, implicit, parametric form), tangent plane, normal, area (of a sphere, lateral area of a cone), points on surface (eliptic, hyperbolic,..., asymptotic directions), divergence, curl, surface integral, Stokes, Gauss-Ostrogradsky theorem.