Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)
- Hodgeova teorie
- Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
- Topologické metody
- Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
- Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem
- Vnější kalkulus (přehled). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
- Přehled geometrie Lieových grupy a algeber
- Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
- Fibrované prostory
- Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
- Geometrická formulace kalibračních polí
- Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
- Charakteristické třídy
- Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
- Dvoukomponentové spinory
- Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky,
vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)
- Hodge theory
- Scalar product on forms, Hodge dual, coderivative, de Rham-Laplace and Beltrami-Laplace operators. Hodge decomposition, potential and copotential, harmonics, cohomology.
- Topological methods
- Cohomology a homology groups, homotopy, fundamental group, homotopy equivalence, homotopy operator, contraction, Poincare lemma.
- Riemann geometry in terms of forms
- Exterior calculus (overview). Maxwell theory. Othonormal frames, Cartan structure equations, Ricci coefficients. Bianchi identities. Calculation of the curvature, example - Vaidya metric.
- Geometry of Lie groups and algebras
- Lie groups, construction of Lie algebra, exponential mapping, Killing metric, structure constants. Bi-invariant metric, measure, covariant derivative. Adjoint representations. The action of Lie group on a manifold, flows and their generators. Representations on vector spaces.
- Fibre bundles
- Abstract fibre bundles. Vector bundles and their geometry, covariant derivative, vector potential and curvature. Objects on the gauge-algebra bundle.
- Geometry of gauge fields
- Inner degrees of freedom and their description in terms of vector bundles. Gauge symmetry. Gauge group and gauge algebra bundles. Gauge and Yang-Mills fields. The action and field equations. Electromagnetic and charged fields.
- Characteristic classes
- Invariant symmetric polynomials in curvature, Chern-Weil theorem, characteristic classes, Chern class and character, Pontrjagin class, Euler form, integral quantities.
- Two-component spinors
- Space of spinors, antisymmetric metric, soldering form. Relation between spinors and vectors. Geometric quantities and physical fields in terms of spinors. Electromagnetic field and curvature.
|