Jedním z důležitých důkazových prostředků v diskrétní matematice je
aplikace vět z algebraické topologie, zejména různých vět o pevném bodě a
pod. V přednášce probereme potřebné topologické pojmy a výsledky
(většinou bez důkazů nebo jen s nástiny důkazů) a dokážeme několik
kombinatorických a geometrických výsledků topologickými metodami.
Vhodné pro studenty vyšších ročníků matematiky a teoreticky zaměřené
informatiky a pro doktorandy.
Poslední úprava: T_KAM (07.05.2001)
One of the important proof techniques in discrete mathematics
is the application of theorems from algebraic topology.
The course covers the necessary topological preliminaries
and establishes several combinatorial and geometric results
by topological methods, mainly using the Borsuk-Ulam theorem.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. (26.02.2024)
Pro zápočet je potřeba získat nejméně 20 bodů za domácí úkoly. Zároveň je ale potřeba získat alespoň 2,5 bodu ve čtyřech (z pěti) sérií domácích úkolů. Celkový počet možných bodů bude nejméně 80. Charakter předmětu neumožňuje opravný termín pro zisk zápočtu. Zápočet je nutnou podmínkou pro možnost konat zkoušku.
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. (26.02.2024)
For getting the credit from tutorials, the students are required to get at least 20 points from homework. However, it is also necessary to get at least 2.5 points from at least four series of the homeworks out of five possible series. The total number of available points will be at least 80. There is no provision for repeated attempts for the credit. Credit from tutorials is a necessary condition for an attempt to pass an exam.
Literatura
Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (06.05.2014)
J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem
V. V. Prasolov, Elements of Combinatorial and Differential Topology
J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. Jan Kynčl, Ph.D. (23.05.2019)
Zkouška bude ústní na základě obsahu přednášek. Bude též přihlédnuto k případným bodům získaným navíc při řešení domácích úkolů.
Poslední úprava: doc. Mgr. Jan Kynčl, Ph.D. (23.05.2019)
The exam will be oral based on the contents of the lectures. Extra points gained by students by solving problems for tutorials will be considered in favor of the students.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. (25.10.2018)
Simpliciální komplexy (pojmy a základní fakta), souvislost prostoru.
Borsuk-Ulamova věta, ekvivalentní verze Borsuk-Ulamovy věty.
Věta o sendviči, věta o náhrdelníku.
Věty o nevnořitelnosti a barevnosti (barevnost Kneserových grafů, Radonova věta).
Rozšiřující témata: homologie, stupeň zobrazení, barevná Tverbergova věta, Z_2 index.
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. (25.10.2018)
Simplicial complexes, connectedness of a space.
Borsuk-Elam theorem, equivalent versions.
Ham-sandwich theorem, Necklace theorem.
Theorems on non-embeddability and colorings (chromatic number of Kneser graphs, Radon theorem).
Additional (possible) topics: homology, degree of a map, colorful Tverberg theorem, Z_2 index.
