Jeden z úvodních kursů v oblasti obecné diferenciální geometrie. Spojují se zde pojmy z algebry a reálné analýzy a rozvíjejí se v novém, geometrickém směru. Jsou vybudovány pojmy tenzorové a vnější algebry, diferenciální formy na $R^n$ a jejich integrály přes k-rozměrné plochy v $R^n$. Zavádí se dále pojem hladké variety s krajem, tečných vektorů, vektorových a tenzorových polí, integrál z diferenciálních forem na varietě a jako zlatý hřeb je dokázána obecná Stokesova věta. Rovněž se připomene integrál z funkce přes Riemannovu varietu.

One of the basic courses in the area of general differential geometry. Notions from algebra and real analysis are amalgamated and developed in a new, geometrical direction. We define the notions of tensor and exterior algebras, differential forms in R^n and their integrals over k-dimensional surfaces in R^n. We define also smooth manifolds with border, tangent vectors, vector and tensor fields, integral of a differential form on a manifold and the highlight is the proof of the general Stokes theorem. Last but not least is the notion of integral of a function on a Riemannian manifold.

Minimální sylabus:.

1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské souči-ny variet).

2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet;.

tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám);.

tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.

3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru;.

vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení;.

symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorové-ho prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.

4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně.

algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety;.

vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma;.

přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.

5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.

6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.

7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.

Pokud možno:.

8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.

Minimal syllabus:

1. Topological manifold (charts, transition functions, atlas), smooth manifolds (differential structure), basic examples of manifolds. 2. Smooth maps between manifolds, smooth functions, diffeomorphisms; tangent vectors in a point, tangent space in a point, coordinates on tangent space, geometrical interpretation of vectors; tangent map to a smooth map, coordinate description, Jacobians. 3. A summary of properties of tensor algebra of a vector space; outer algebra of a vector space, basic properties of outer multiplication; symmetric algerba of a vector space, orientation of a vector space, volume of a paralleliped using outer product and the Gramm matrix. 4. Tensor fields on a manifold, Riemann (pseudo)-metric on a manifold, Minkowski spacetime, algebra of differnetial forms as a modul over the ring of functions, orientation of a manifold; de Rham differential in coordinates and without coordinates, exact and closed forms, de Rham complex, de Rham cohomology, Poincare lemma; inverse image of tensor fields and forms by a smooth map, coordinate description, basic properties. 5. Manifolds with a boundary, its tangent space, differential forms on manifolds with boundary, orientation. 6. Integration of forms on a manifold with boundary, Stokes theorem. 7. Volume form on a (pseudo)-Riemannian manifold, integration of functions on such manifolds, local computations. If possible: 8. Lie derivative of vector fields, contraction of forms by vector fileds, connection with the de Rham differential.