Naučit základy logiky a teorie množin

Předmět je zakončen zkouškou.

The course is completed by an exam.

• Štěpánek,P.: Matematická logika (skriptum), SPN 1982

• Balcar,B., Štěpánek,P.: Teorie množin, Academia, Praha 1986

• Čuda K.: Základy logického kalkulu

• Čuda K.: Základy teorie množin

Předmět bude zakončen písemnou zkouškou, při které se od studentů budou požadovat definice, věty a důkazy z přednášky; přesný seznam požadavků bude studentům průběžně upřesňován na přednáškách a bude k dispozici na webu vyučujícího.

V případě nerozhodného výsledku u písemné zkoušky může v některých případech dojít též na ústní část zkoušky. Typicky bude student žádán, aby upřesnil nebo dovysvětlil nejasné body z písemky; může však dojít i na další úlohy.

1. Výrokový počet (jazyk, základní důkazové prostředky, věta dualitě a normální formě).

2. Predikátový počet (jazyk, kalkulace s kvantifikátory, věta prenexní formuli).

3. Axiomatická teorie (dokazatelnost, nezávislost, bezespornost a úplnost axiomatické teorie).

4. Axiomatická teorie tříd a množin (operace s třídami a množinami, relace, uspořádní, zobrazení).

5. Booleovské kalkulace.

6. Ekvivalence a subvalence, Cantor - Bernsteinova věta, Cantorova věta.

7. Konečné množiny.

8. Dobře uspořádané množiny.

9. Peanova aritmetika a model přirozených čísel v teorii množin.

10. Axiom nekonečna a spočetné množiny.

11. Čísla celá, racionální a reálná.

12. Kardinální čísla (operace, uspořádání).

13. Ordinální čísla (operace, uspořádání).

14. Axiom výběru a jeho ekvivalenty.

Propositional calculus: propositional variables, logical connectives,

truth tables, propositional formulae, truth value of a formula with a

given evaluation, inference techniques (modus ponens, deduction, proof

by contradiction, etc.) Duality (also de Morgan's rules), Disjunctive

and Conjunctive normal forms.

First-Order Logic: language of 1st order logic, terms, formulae. 1st

order mathematical structures, examples. Formulae true for a

structure. Bound and free variable occurrences, the extent of a

quantifier, open and closed formulae, term substitution. Inference

techniques for formulae with quantifiers. Prenex normal form.

Axiomatic approach to mathematics, classical and modern approaches.

Brief note on consistence, independence, and completeness in various

axiomatic systems.

Set Theory and its importance for mathematics. Intuitive description

of the universum of sets as used in today's mathematics. Definable

classes. Russel's paradox.

Boolean calculus and other calculative properties of set operations

and relations.

Zermelo-Fraenkel axioms.

Equipollent sets, cardinality, Cantor-Bernstein Theorem, Cantor Theorem.

Model of natural numbers in set theory. Finite sets, countably infinte sets.

Integer, rational and real numbers.

Well ordered sets, cardinal and ordinal numbers (operations, ordering).

Axiom of Choice and its equivalents.