The course supplements the basic course Probability 1 for expert and practical knowledge which a statistician, but also a probabilitist can need in their own research. As such, the course can be considered as an alternative to Probability 2. It is focused on the conditional probability and conditional expectation in the Kolmogorov sense, on dominated systems of probability distributions, on important probability inequalities and lower/upper bounds, on the contiguity of probability measures, on relations between probability measures, and on the empirical processes.

Kurz doplňuje Teorii pravděpodobnosti 1 o znalosti, které matematičtí statistikové, ale i odborníci v teorii pravděpodobnosti často potřebují ve svém výzkumu, a v tomto smyslu je volitelnou alternativou k Teorii pravděpodobnosti 2. Zaměřuje se zejména na podmíněnou pravděpodobnost a podmíněnou střední hodnotu v Kolmogorovově smyslu, na dominované systémy pravděpodobnostních měr, významné pravděpodobnostní nerovnosti a horní/dolní meze, na kontiguitu pravděpodobnostních měr, na vzájemné vztahy pravděpodobnostních měr a na empirické procesy.

To extend the basic knowledge of probability for expert and practical knowledge which a statistician, but also a probabilitist can need in their own research.

Rozšířit základní znalosti pravděpodobnosti o teoretické i praktické poznatky, které matematický statistik, ale i odborník v pravděpodobnosti může využít ve svém vlastním výzkumu.

[1] Shorack, G. R. Probability for Statisticians. Springer 2000

[2] Pollard, D. A User’s Guide to Measure Theoretic Probability. Cambridge University Press 2002.

[3] Lehmann, E.L. Testing Statistical Hypotheses. Springer 1986.

[4] Csörgö, M. and Révész, P. Strong Approximations in Probability and Statistics. 

Akadémiai Kiadó, Budapest 1981.

[5] Grenander, U. Abstract Inference. J.Wiley 1981.

[6] Jurečková, J., Sen, P. K. and Picek. J. Methodology in Robust and Nonparametric Statistics. Chapman & Hall/CRC Press 2013.

Lecture + exercises.

Přednáška + cvičení

1. Conditioning: Conditional probability and conditional expectation in the Kolmogorov conception. Conditions under which there exists a genuine conditional probability distribution and its density. Sufficiency, sufficient statistics, factorization. Existence of a nontrivial sufficient statistic. Completness. Basu Theorem. Completness of the vector of order statistics for the system of all absolutely continuous distributions. Examples.

2. Dominated systems of probability measures. Existence of a countable equivalent subsystem. Dominated systems of probability measures and sufficient statistics. The least favorable probability measures. Examples.

3. Some important inequalities, lemmas and upper bounds: Bernstein, Billingsley, Birnbaum-Marshall, Borel-Cantelli, Chebyshev, convexity lemma, C_r- inequality, Doob, entropy inequality, Hájek-Rényi, Hoeffding, Jensen, Hájek-Hoeffding projection, Kolmogorov maximal inequality, and others. Aplications and examples.

4. Contiguity of probability measures, Hájek-LeCam Theorem, local asymptotic normality, Convolution Theorem. Aplications.

5. Inter-relations of probability measures (coupling): Relations of Poisson and binomial probability distributions, Theorem of Komlós-Májor-Tusnády, Strassen Theorem.

6. Empirical processes and their applications in the statistical inference.

1.Podmiňování: Podmíněná pravděpodobnost a podmíněná střední hodnota 

v Kolmogorovově smyslu. Podmínky pro existenci podmíněného rozdělení 

pravděpodobností/hustoty. Postačitelnost, postačující statistiky, faktorizace. Existence 

netriviální postačující statistiky. Úplnost. Basuova věta. Úplnost vektoru pořádkových 

statistik v systému všech absolutně spojitých distribučních funkcí. Příklady.

2. Dominované systémy pravděpodobnostních měr. Existence spočetného ekvivalentního podsystému. Postačující statistiky a dominovaný systém. Nejméně příznivé pravděpodobnostní míry. Příklady.

3.Užitečné nerovnosti, lemmata a horní hranice: Bernstein, Billingsley, Birnbaum-Marshall, Borel-Cantelli, Chebyshev, convexity lemma, C_r nerovnost, Doob, entropy inequality, Hájek-Rényi, Hoeffding, Jensen, Hájek-Hoeffdingova projekce, Kolmogorovova maximální nerovnost, aj. Aplikace a příklady

4. Kontiguita pravděpodobnostních měr, Hájkova-LeCamova věta, lokální asymptotická normalita, konvoluční věta. Aplikace.

5. Vzájemné vztahy pravděpodobnostních měr (coupling): vztahy mezi Poissonovým a binomickým rozdělením, věta Komlós-Májor-Tusnádyho, Strassenova věta. 

6. Empirické procesy a jejich využití ve statistické inferenci.