PředmětyPředměty(verze: 945)
Předmět, akademický rok 2023/2024
   Přihlásit přes CAS
Latinské čtverce a neasociativní struktury - NMAL430
Anglický název: Latin Squares and Nonassociative Structures
Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2023
Semestr: letní
E-Kredity: 3
Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
4EU+: ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
Třída: M Mgr. MSTR
M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Anotace
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.12.2018)
Výběrová přednáška pojednávající o základech teorie lup a kvazigrup a o jejich souvislostech s projektivními rovinami a s kvazitělesy.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)

Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Studentovi/studentce je zadán jeden z šesti zkouškových okruhů, s tím, že může být požadováno podrobnější rozpracování některé položky.

Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)

Základní literaturou jsou skripta přednášejícího v angličtině, která budou průběžně zveřejňována.

Standardní zdroje k tématu jsou:

V. D. Belousov: Osnovy teorii kvazigrupp i lup, Nauka, Moskva, 1967

H. O. Pflugfelder: Quasigroups and Loops: An Introduction, Heldermann Verlag, 1991

D. Keedwell and József Dénes: Latin Squares and their Applications, 2nd Edition, North Holland, 2015

M. Hall, Jr.: Theory of Groups, MacMillan Co., 1959

D. R. Hughes a F. C. Piper: Projective planes, Springer Verlag, 1973

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)

1. Volná kvazigrupa. Redukovaná slova a přepisující pravidla. Kongruence kvazigrup a lup. Souvislost s bloky multiplikační grupy. Grupa vnitřních zobrazení a její význam pro normalitu podlupy. Standardní generátory.

2. Semisymetrie, MTS, STS, jejich interpretace z hlediska shody parastrofií. Projektivní a afinní STS. Prolongace a STS lupy. HTS a jejich charakterizace přes distributivitu a komutativní moufangovské lupy. Struktura komutativních moufangovských lup.

3. Nuklea lupy. Charakterizace přes autotopismy. Důkaz, že jde o podlupy. Definice centra lupy. Souvislost s grupou vnitřních zobrazení. Popis centra multiplikační grupy lupy. Jeho vztah s normalizátorem grupy vnitřních zobrazení. Normalita nuklea jako důsledek normality levé či pravé multiplikační grupy. Shoda a normalita nukleí v bolovských a moufangovských lupách.

4. Definice afinní a projektivní roviny, k-sítí a transversálních designů. Přechod mezi afinní a projektivní rovinou. Podmínky definující afinní rovinu pomocí aditivní grupy a multiplikativní lupy. olineace a definice kvazitělesa. Polotělesa a skorotělesa. Dicksonovo skorotěleso. Souvislost konečných skorotěles a ostře 2-tranzitivních permutačních grup.

5. Odvození bolovských identit cestou levé a pravé inverzní vlastnosti. Popis přes skruty translací. Odvození a ekvivalence moufangovských identit. Extra lupy a jejich popis jako moufangovských lup s čtverci v nukleu. Idea konstrukce lupy oktoniónů přes Fanovu rovinu a důkaz jednoznačnosti takové lupy.

6. Pseudoautomorfismy a jejich aplikace v moufangovských lupách. Vlastnosti asociátorů a komutátorů v moufangovských lupách stupně nilpotence dva. Kvadratické formy a konstrukce oktoniónů. Kódové lupy (v rozsahu, jaký bude probrán).

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)

Isotopie lup a kvazigrup a jejich intepretace latinskými čtverci.

Významné algebraické variety lup a kvazigrup.

Příklady konstrukce.

Souvislosti s projektivními rovinami.

Kvazitělesa, skorotělesa a polotělesa.

Souvislosti s teorií grup a s kryptografií.

Podrobnější představu lze získat z požadavků ke zkoušce.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK