Study of harmonic analysis for locally compact groups.

Naučit základy harmonické analýzy na lokálně kompaktních grupách.

Credit and exam, which is oral with a written preparation. Credit is given by an active presence at exercises (computing at the black-borad) or by computing 15 exercises at home, aliquoat counting.

Získání zápočtu a složení zkoušky, která je ústní s písemnou přípravou, a to i ve formě absenční přes on-line platformy. Zápočet je udělen v případě aktivní účasti na cvičení nebo za vypracovaní 10 domácích úloh (v případě absence na cvičeních nebo při absenční výuce).

Deitmar, A., Echterhoff, S., Principlesof harmonic analysis

Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989

Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105

Deitmar, A., Echterhoff, S., Principlesof harmonic analysis

Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989

Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105

Lecture and exercise.

Přednáška a cvičení.

We test the knowledge of definitions, theorems and their application.

Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných situacích.

1) Introduction: Fourier transform and Fourier series, F. transform of Gaussian (by Cauchy theorem)

2) Recall of Topology (final and initial topology, local compactness, compactification, Alexandrov compactification, Tychonov theorem on products of compact sets) and basics on Measure theory (definitions, exapmles, Borel and Radon measures)

3) Compact-open topology, locally uniform convergence on compact sets and Banach--Alaoglu theorem

4) Basics on Banach, Banach-* and C*-algebras (spectrum, resolvent, theorem of Gelfand and Mazur without proof), examples: C(X), B(H), D (disc algebra)

5) Theorem on the Gelfand transform, theorem of Stone-Weierstrass and Gelfand-Naimark (two last without proof)

6) Locally compact groups (definition and examples), Haar measure for locally compact groups (existence with proof, uniqueness without proof), modular functions

7) Basics on representation theory of (topological) groups: Schur lemma (on intertwining homomorphisms), representations of commutative groups, characters of groups

8) L^1(G) with convolution and L^1-norm is Banach *-algebra, group algebra of a finite group, Fourier transform on locally compact groups, F. t. is homomorphism of (L^1(G),*) and (L^1(G), . )

9) Characters. Characters of Z, S^1, R^n. Characters as a locally compact group, Plancherel measure and theorem (without proof)

10) Pontryagin duality (proof)

11) Poisson summation formula on locally compact abelian groups (if time permits transformation rules for theta-functions)

1) Úvod: Fourierova transformace a Fourierovy řady, F. transformace "gaussiánu" pomocí Cauchyovy věty pro holomorfní funkce

2) Opakování topologie (iniciální a finální topologie, lokální kompaktnost, kompaktifikace, Alexandrovova kompaktifikace, Tychonovova věta o součinu kompaktních prostorů) a opakování teorie míry (definice a příklady, Borelových a Radonových měr), kompaktní-otevřená topologie, lokálně stejnoměrná konvergence na kompaktech, a Banachova-Alaogluova věta

3) Základy Banachových, Banachových-* a C*-algeber (spektrum, rezolventa, věta Gelfanda a Mazura, bez důkazu), příklady: C(X), B(H), D - algebra disku

4) Věta o Gelfandově transformaci, věta Stone--Weierstrasse (opakovani) a Gelfanda--Naimarka.

6) Lokálně kompaktní grupy (definice a příklady), Haarova míra na lokálně kompaktních topologických grupách (existence s důkazem), modulární funkce Haarovy míry

7) Základní pojmy z teorie reprezentací (topologických) grup: Schurovo lemma (o splétajících operátorech), reprezentace komutativních grup; grupa charakterů grupy

8) L^1(G) s konvolucí a L^1-normou je Banachova algebra; grupová algebra konečné grupy. Fourierova transformace na L^1(G), F. t. je homomorfizmus (L^1(G),*) a (L^1(G),.).

9) Charaktery. Charaktery Z, S^1, R^n. Charaktery jako lokálně kompaktní grupa, Plancherelova míra a věta (bez dk.)

10) Pontrjaginova dualita (nektere body důkazu.)

11) Aplikace: Poissonova sumační formule na lokálně kompaktních abelovských grupách a transformace theta-funkcí