Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
Class field theory, which provides a substantial generalization of
quadratic reciprocity law, forms the foundation for many advanced areas of
number theory including Langlands program. In principle, it is concerned
with the description of abelian extensions of number fields and p-adic
numbers. In the course we will explain the main statements of this theory
for global or local fields including the main tools for their proofs and
various applications, mostly on the structure of number fields and
quadratic forms. Specific choice of topics will depend on the interests of
participants.
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
Teorie třídových těles, která výrazným způsobem zobecňuje zákon kvadratické
reciprocity, tvoří základ pro řadu pokročilejších oblastí teorie čísel
včetně Langlandsova programu. V zásadě v ní jde o popis abelovských
rozšíření číselných těles a p-adických čísel. Během přednášky vyložíme
hlavní tvrzení této teorie pro globální nebo lokální tělesa včetně hlavních
nástrojů pro jejich důkazy a různých aplikací, zejména na strukturu
číselných těles a kvadratických forem. Konkrétní volba probraných témat
bude záviset na zájmu posluchačů.
Course completion requirements - Czech
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (16.02.2023)
Předmět je zakončen ústní zkouškou. Alternativně (po dohodě s vyučujícím) může být splněn úspěšným řešením netriviálních úloh zadaných během semestru.
Literature -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
James A. Milne, Class Field Theory, online.
David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989.
Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
James A. Milne, Class Field Theory, online.
David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989.
Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.
Requirements to the exam - Czech
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (16.02.2023)
Zkouška bude ústní s cca 60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách. Alternativně (po dohodě s vyučujícím) může být splněn úspěšným řešením netriviálních úloh zadaných během semestru.
Syllabus -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
Completions, adeles and ideles
Main theorems of class field theory, Hilbert class field
Artin map
Proof tools: L-functions and group cohomology
Tchebotareff density theorem
Hasse local-global principle for quadratic forms
Higher reciprocity laws, Hilbert symbol
Local class fields: Lubin-Tate theory
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.05.2018)
Zúplnění, adely a idely
Hlavní věty teorie třídových těles, Hilbertovo třídové těleso
Artinovo zobrazení
Nástroje k důkazům: L-funkce a kohomologie grup
Čebotarevova věta o hustotě
Hasseho lokální-globální princip pro kvadratické formy
