V centru pozornosti teorie modelů jsou relační struktury neboli sémantické modely teorií 1. řádu. Studuje se existence, jednoznačnost, kategoričnost, nerozlišitelnost, univerzalita, homogenita, saturovanost, stabilita a další jejich vlastnosti a prezentuje se důkaz Morleyovy věty o kategoričnosti. Výsledky lze uplatnit v řadě matematických disciplín.

Basic constructions of models, completeness and compactness, omitting-types theorem, Skolem functions and indiscernibles. Automorphisms. Countable categoricity. Atomic and prime models. Saturated, homogeneous and universal models, big models. Ultraproducts, regular and good ultrafilters, saturativity of ultraproducts, elementary classes. Stable theories, Morley's theorem on uncountable categoricity.

Naučit základy teorie modelů

To learn fundamentals of model theory

Ústní zkouška

Oral exam

• C.C.Chang, J.H.Keisler: Model theory, NHPC 1973

• W. Hodges: Model Theory, Cambridge Univ. Press, 1993

• J. Mlček: Nespočetná kategoričnost, studijní text, 1998

Doporučení: Základní kurz logiky a teorie množin.

Relační struktura neboli model (teorie 1. rádu), relace splňování. Existence modelu, věta o úplnosti predikátové logiky, věta o kompaktnosti, Löwenheim-Skolemova věta. Aplikace. Elementární rozšíření a vnoření, elementární diagram. Řetěz modelů, Robinsonova věta o bezespornosti, Craigova věta o interpolaci. Homomorfismus modelů, diagram. Aplikace. Lindenbaumovy algebry, typy. Věty o pomíjení typů. Základní aplikace: koncová rozšírení, omega-modely. Saturované modely: existence a jednoznačnost, univerzalita a homogenita. Spočetné homogenní modely. Minimální modely spoč. teorií: Vaughtova věta, jednoznačnost, existence. Atomické teorie a modely. Omega-kategoričnost, Ryll-Nardjewského věta. Ultraprodukt a ultramocnina. Lösova fundamentální věta, kanonické vnoření, alef 1-saturovanost. Regulární ultramocnina: existence, kardinalita, univerzalita a relativní saturovanost. Vlastnosti regulárních ultrafiltrů. Ultraprodukt přes dobrý ultrafiltr: existence, saturovanost. Věta o izomorfismu. Vlastnosti kappa-dobrých ultrafiltrů. Elementární třídy modelů, věta o separaci. Skolemovské funkce, nerozlišitelné prvky, velikost grupy automorfismů modelu. Zachovávání podmodelu. Modelová úplnost: vlastnosti, Lindströmova věta, příklady. Nespočetná kategoričnost: kappa-kategoričnost, stabilita, Morleyova věta, príklady.

First-order structures and models, the satisfaction, an existence of models. The compactness and

the completeness theorem. Embeddings and diagrams, chains of models, Lindenbaum algebras. Omitting-types theorems.

Countable categoricity. Saturated, homogenouse and universal models. Big models. Minimal and atomic models. Ultraproducts, regular

and good filters. An isomorphisms theorem. Elementary classes. Indiscernibles. Model completeness.

Morley's theorem on Uncountable categoricity. The stability.