Prohloubení a rozšíření znalostí v oblasti mechaniky kontinua, včetně aplikací na konkrétní problémy reálného světa

The lecture provides the basics in continuum mechanics and describes its use in basic and applied research.

Zápočet: Včasné vypracování šesti domácích úkolů a získání alespoň 50% bodů z písemky, která se píše po odpřednášení částí 1-8.

Zkouška probíhá ústní formou. V případě, že zápočtová písemka je hodnocena známkou 1, je studen/ka zkoušen/a především z částí 9-11.

Studenti před každou přednáškou dostanou vytištěné shrnutí přednášky v rozsahu cca 10 až 15 stran, do kterého si mohou vpisovat svoje poznámky. Většina učiva je přehledně shrnuta v elektronickém, anglicky psaném skriptu Z. Martince Continuum mechanics (http://geo.mff.cuni.cz/studium/Martinec-ContinuumMechanics.pdf).

Přednáška + cvičení

Lecture + exercises

1. Význam mechaniky kontinua pro vědecký a aplikovaný výzkum. Koncept spojitého prostředí, reprezentativní elementární objem, Hill-Mandelova podmínka. Historický vývoj mechaniky kontinua. Opakování potřebného matematického aparátu, práce s vektory a tenzory.

2. Geometrie deformace. Deformační zobrazení, axiom kontinuity, deformační gradient. Materiálový, referenční, prostorový a relativní popis. Správné chápání lagrangeovského a eulerovského formalismu. Polární rozklad deformačního gradientu. Základní objekty používané k popisu deformace. Tenzor deformace, změny délek, úhlů, ploch a objemů při deformaci. Hlavní směry deformace, invarianty tenzoru deformace a deformační elipsoid. Vektor a gradient posunutí. Geometrická linearizace, linearizovaný tenzor deformace a geometrický význam jeho složek. Změny ploch a objemů v případě malých deformací.

3. Kinematika deformace. Formulace základních problémů, na které chceme znát odpovědi. Rychlost a zrychlení v lagrangeovském a eulerovském popisu, materiálová derivace. Příklady materiálové derivace ve fyzikálních aplikacích. Tenzor gradientu rychlosti, materiálové derivace veličin zavedených v části 2. Tenzor rychlosti deformace, vektor a tenzor vířivosti. Koncept materiálového objemu a materiálového povrchu. Reynoldsův transportní teorém. Stručně o fázovém rozhraní. Výpočet trajektorií a proudnic, proudová funkce, potenciálové proudění.

4. Tenzor napětí. Historický vývoj od Newtona přes Leibnize až po Cauchyho, polární a nepolární materiály. Cauchyho napěťový princip, Cauchyho postulát a fundamentální lemma, odvození Cauchyho fundamentální věty. Interpretace složek Cauchyho tenzoru napětí, normálové a smykové napětí, izotropní část tenzoru a deviátor. Hlavní směry napětí a jejich fyzikální interpretace. Tenzor napětí v lagrangeovském popisu, Piola-Kirchhoffův tenzor prvního a druhého druhu. Lagrangeovský popis napětí v případě malých deformací a malých napětí.

5. Zákony zachování hmoty, hybnosti, momentu hybnosti a energie. Zákony zachování v integrálním a diferenciálním tvaru. Lagrangeovská forma zákonů zachování. Rovnice kontinuity, symetrie Cauchyho tenzoru napětí, pohybová rovnice, termální rovnice. Uložená a disipovaná energie. Význam druhé termodynamické věty a její vyjádření pomocí entropie. Clausiova-Duhemova nerovnost.

6. Materiálové vztahy I – koncept objektivity, jednoduché materiály. Formální potřeba konstitutivních vztahů – příklady. Základní principy při odvozování konstitutivních vztahů – determinismus, materiálová objektivity a termodynamická kompatibilita. Koncept objektivity, postulát objektivních veličin, testování objektivity různých geometrických objektů. Objektivita fyzikálních zákonů. Objektivní materiálová derivace, korotační derivace, horní a dolní konvektivní derivace. Příklady ilustrující význam konceptu objektivity. Obecný tvar konstitutivních vztahů, princip lokálního působení, jednoduché materiály. Objektivní tvary materiálových vztahů pro jednoduché materiály. Materiálové vztahy v lagrangeovském a eulerovském popisu. Kinematická podmínka, nestlačitelné materiály.

7. Materiálové vztahy II – materiálové symetrie, homogenní a izotropní materiály. Princip materiálové symetrie. Konstitutivní vztahy v relativním popisu. Materiály s omezenou pamětí. Reprezentační teorémy pro izotropní funkce. Izotropní elastický materiál, Hookův zákon, obecná viskózní izotropní kapalina, newtonovská nestlačitelná kapalina a další příklady.

8. Materiálové vztahy III – termodynamická kompatibilita. Aplikace Clausiovy-Duhemovy nerovnosti na tepelně vodivou viskózní kapalinu. Reziduální nerovnost, rovnovážný stav, termodynamický tlak. Gibbsův vztah pro klasickou teplotně vodivou kapalinu. Termální a kalorická stavová rovnice. Ověření termodynamické platnosti soustavy rovnic popisujících pohyb a termální vývoj systému, který je tvořen izotropní newtonovskou kapalinou.

9. Fenomenologický popis materiálů. Elasticita, viskozita, plasticita. Reprezentace reologických vztahů pomocí mechanických analogů. Napěťově deformační křivky. Různé pojetí elasticity – hookovský materiál, hypo a hyperelasticita, elastické moduly a limity. Pseudoelasticita, anelasticita a termální napětí. Elastická deformace ve vědě a aplikovaném výzkumu. Tekutiny z hlediska mechaniky kontinua. Newtonovské a nenewtonovské tekutiny, diletantní, pseudoplastické, rheopektické a thixotropické materiály, příklady a aplikace. Viskoelastické tekutiny. Ideální tekutina, supratekutina, plazma. Plasticita, základní koncepce, test deformačního zpevnění, creepový a relaxační test. Příklady plastických materiálů a různé definice pevnostního kritéria, Trescovo, Mohr-Coulombovo a Drucker- Pragerovo kritérium. Granulované materiály a jejich reprezentace v mechanice kontinua.

10. Navier-Stokesova rovnice. Co o ní víme na počátku 21. století, jak ji umíme používat a jaké jsou hlavní nezodpovězené otázky. Stlačitelnost tekutin, stlačitelná a nestlačitelná Navier-Stokesova rovnice. Bezrozměrný popis, Reynoldsovo číslo a jeho fyzikální význam, sebepodobnost. Laminární a turbulentní proudění, energetická kaskáda, Reynoldsův rozklad a turbulentní viskozita. Odpor prostředí – odvození obecného vztahu pomocí Buckinghamova π-teorému. Odvození Stokesova vztahu pro pád koule viskózní kapalinou. Měření viskozity – viskometry.

11. Různé další fyzikální úlohy a jak tyto úlohy můžeme řešit numericky. Termální konvekce, Prantlovo, Rayleighovo a disipační číslo. Řešení úlohy termální konvekce metodou sítí, časová a prostorová diskretizace, hraniční a počáteční podmínky. Nehomogenní kapaliny, kombinace eulerovského a lagrangeovského popisu, markery. Elektricky vodivé kapaliny, magnetohydrodynamika. Proudění atmosféry.

1. Geometry of deformation, Eulerian and Lagrangian frames, displacement, strain tensor.

2. Material and spatial time derivative. Reynolds transport theorem.

3. Body and surface forces. Stress tensor.

4. Conservation laws in global and local scale, continuity and momentum equations.

5. Constitutive relationships. Elastic, viscous and plastic deformation.

6. Law of energy conservation. Entropy. Dissipation of mechanical energy. Thermal convection.

7. Mathematically correct formulation of continuum mechanics problems. Boundary conditions.

8. Pre-stressed media, thermal stresses, phase transitions.

9. Thin shell approximation of basic equations, membranes, shallow water approximation.

10. Applications: flow of oceans and atmosphere, sub-solidus flow of rocks and ices, viscoelastic liquids etc.

11. Numerical methods to solve the continuum mechanics problems.

12. Unsolved questions and open problems in continuum mechanics theory.