Stacionární proces. Spojitost, derivace a integrál procesu. Spektrální reprezentace. Lineární proces. Ergodicita, centrální limitní věty. Predikce a filtrace. Modely ARMA a jejich statistická analýza.

Stationary processes. Continuity, differentiation and integration. Spectral representation. Linear process. Ergodicity, central limit theorems. Prediction and filtration. ARMA models and their statistical analysis.

Studenti získají základní vědomosti z teorie stacionárních procesů v časové i spektrální doméně. Dále se seznámí se základními statistickými vlastnostmi časových řad.

Students gain basic knowledge of the theory of stationary processes in both time and spectral domain. The aim is also to acquaint students with basic statistical properties of time series.

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Bez zápočtu se nelze zapsat ke zkoušce.

Podmínky pro udělení zápočtu:

1. Získat minimálně 70% z bodů udělených za domácí přípravu formou e-learningu (Moodle)

2. Absolvovat dva písemné testy a z každého získat nejméně 70% z možného počtu bodů.

Každý z těchto písemných testů lze opakovat právě jednou.

Termíny písemných testů budou oznámeny na začátku semestru na stránce kurzu na platformě Moodle. Opravné testy se píší najednou pro všechny skupiny.

Forma výuky a její průběžná kontrola vylučují možnost opakovat zápočet v daném semestru.

The subject is terminated with the course credit (zápočet) and exam.

Obtaining the course credit is a necessary condition for taking the exam.

Criteria for obtaining the course credit, common for all the groups, are the following:

1. Obtaining at least 70 % of points from regular homeworks (Moodle);

2. Sucessfully passing two tests during the course, i.e. obtaining at least 70 % of the

points in each test. For each test there will be exactly one chance to retake the test

{one term common for all the groups). The planned terms will be announced at the beginning

of the semester in the Moodle platform.

Due to multiple activities required during the semester a retake of the credit course is excluded.

Anděl J.: Statistická analýza časových řad. SNTL, Praha 1976

Brockwell P.J., Davis R.A.: Time series: Theory and Methods, Springer-Verlag, New York, 1987

Prášková, Z.: Základy náhodných procesů II. Karolinum, 2004.

Přednáška+cvičení.

Cvičení v distanční formě probíhá pomocí platformy Moodle: https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=5361.

Lecture+exercises.

Exercises will be conducted online via Moodle: https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=5361.

Zkouška je písemná a ústní.

Písemná zkouška trvá 70 minut. Jsou zadány 3 úlohy, ze kterých je nutno získat nejméně 50% z možných bodů, jinak nelze pokračovat v ústní zkoušce a celkový výsledek je "neprospěl/a".

Ústní zkouška pokrývá sylabus v rozsahu přednesené látky.

V žádné části zkoušky není povoleno používat poznámky či výpisky.

The exam consists of the written and the oral part.

The written part lasts 70 minutes and 3 assignments are given. If the score achieved from the written part is less than 50%, the final grade is "fail".

The oral part of the exam covers the topics in accordance with the sylabus, in the extent presented at the lectures.

Using any type of notes is not allowed during any part of the exam.

1. Definice a základní charakteristiky náhodných procesů. Některé důležité třídy náhodných procesů.

2. Hilbertův prostor. Prostor L_2. Procesy se spojitým časem v L_2.

3. Spektrální rozklad autokovarianční funkce. Existence a výpočet spektrální hustoty

4. Procesy s ortogonálními přírůstky. Integrál podle procesu s ortogonálními přírůstky.

Spektrální rozklad stacionárních procesů

5. Posloupnost MA. Lineární proces. Posloupnosti AR,ARMA. Lineární filtry

6. Predikce v konečných náhodných posloupnostech. Rekurzivní metody predikce.

Predikce v modelech ARMA. Predikce v nekonečných stacionárních posloupnostech.

Predikce ve spektrální doméně.Filtrace signálu a šumu.

7. Ergodické věty v L_2. Vybrané centrální limitní věty.

8. Odhady průměru a autokovarianční funkce

9. Odhady parametrů v modelech AR. MA, ARMA

10. Odhady spektrální hustoty.

Stationary processes.

Continuity, differentiation and integration.

Spectral representation.

Linear process. Ergodicity, central limit theorems.

Prediction and filtration.

ARMA models and their statistical analysis.

základní znalosti z teorie pravděpodobnosti na úrovni bakalářského studia obecné matematiky,

základy teorie Hilbertových prostorů, L_p prostory, základy komplexní analýzy, diferenční rovnice

probability theory (bachelor level), elements of Hilbert spaces theory, L_p spaces, Fourier series, elements of complex analysis,

difference equations