Last update: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (29.04.2019)
In this course, students become familiar with basic notions and results of the group theory and the representation theory for
both finite and continuous (Lie) groups and learn how to use them to solve problems in physics. For the 4th (or 3rd) and 5th
year of the TF and JSF studies.
Last update: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (29.04.2019)
Na přednášce se studenti seznámí se základními pojmy a výsledky teorie grup a jejich reprezentací jak pro konečné, tak
pro spojité Lieovy grupy, a na cvičení si vyzkouší jejich použití v konkrétních fyzikálních situacích. Vhodné pro 4. (případně
3.) až 5. ročník TF a JSF.
Literature -
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (28.09.2021)
Morton Hamermesh: Group Theory and Its Application to Physical Problems, Dover Publications, 1989
Shlomo Sternberg: Group theory and physics, Cambridge University Press, Cambridge 1994
Otto Litzman, Milan Sekanina: Užití grup ve fyzice, Academia, Praha 1982
Marián Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004, chapt. 10-12
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (28.09.2021)
Morton Hamermesh: Group Theory and Its Application to Physical Problems, Dover Publications, 1989
Shlomo Sternberg: Group theory and physics, Cambridge University Press, Cambridge 1994
Otto Litzman, Milan Sekanina: Užití grup ve fyzice, Academia, Praha 1982
Marián Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004, kap. 10-12
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (30.09.2019)
Fundamentals of the theory of finite and Lie groups
Groups and their subgroups (basic properties and theorems), group homomorphism and isomorphism, group action on a set, Lie groups and its algebra (geometrical and matrix approach), one-parameter subgroups of the Lie group and exponential map, summary of matrix groups and their properties (double cover of SO(3) by SU(2))
Fundamentals of the representation theory of groups
Representation as a group action on linear spaces, invariant subspaces, equivalent, unitary, irreducible, and (completely) reducible representations, basic theorems for finite and compact Lie groups (Schur's lemma, orthogonality relations, characters and their properties, Peter-Weyl theorem, Casimir operators, Racah theorem), summary of results of the representation theory of the symmetric group and the group SU(n)
Applications in quantum theory
Classification of eigenvalues and eigenstates of an operator by irreducible representations of a symmetry group, coupled systems and decomposition of reducible representations (Clebch-Gordan series and coefficients), evaluation of matrix elements using group-theoretical methods (irreducible tensor operators, general Wigner-Eckart theorem, selection rules)
All notions and theorems will be illustrated by examples of point groups (which describe molecular and crystal symmetries and which play important role in quantum chemistry, molecular spectroscopy and solid state physics) and selected Lie groups such as SO(3), SU(2), and SU(3) (which are important in atomic, nuclear and particle physics).
Previous knowledge of groups is not assumed, but working knowledge of linear algebra and basic quantum mechanics is necessary for application.
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (30.09.2019)
Základy teorie konečných a Lieových grup
Grupy a jejich podgrupy (základní vlastnosti a tvrzení), homomorfizmus a izomorfizmus grup, působení grupy na množině, Lieova grupa a její Lieova algebra (geometrický a maticový přístup), jednoparametrické podgrupy Lieovy grupy a exponenciální zobrazení, přehled základních maticových grup a jejich vlastností (dvojnásobné pokrytí grupy SO(3) grupou SU(2)).
Základy teorie reprezentací grup
Reprezentace jako působení grup na lineárních prostorech, invariantní podprostory, ekvivalentní, unitární, ireducibilní a (úplně) reducibilní reprezentace a základní tvrzení o nich, především pro konečné a kompaktní Lieovy grupy (Schurova lemmata, relace ortogonality, charaktery a jejich vlastnosti, Peterův-Weylův teorém, Casimirovy operátory, Racahův teorém), základní přehled výsledků teorie reprezentací symetrické grupy a grupy SU(n).
Aplikace v kvantové teorii
Klasifikace vlastních čísel a vlastních funkcí operátoru podle ireducibilních reprezentací grupy symetrie tohoto operátoru, systémy složené z podsystémů a rozklad reducibilních reprezentací (Clebschovy-Gordanovy rozvoje a koeficienty), výpočet maticových elementů pomocí metod teorie reprezentací grup (ireducibilní tenzorové operátory a obecný Wignerův-Eckartův teorém, výběrová pravidla).
Během přednášky a zvláště na cvičeních budou výše uvedená témata ilustrována jednak na bodových grupách, které popisují symetrie molekul a krystalů a jejichž reprezentace hrají důležitou roli v kvantové chemii, molekulární spektroskopii a teorii pevných látek, a jednak na vybraných Lieových grupách důležitých v atomové, jaderné a částicové fyzice jako jsou grupy SO(3), SU(2) či SU(3).
Nepředpokládá se předchozí znalost grup, jen základy lineární algebry. Vzhledem k hojnému výskytu příkladů z kvantové mechaniky se též předpokládá základní znalost této teorie.
