Sférická simplexová hloubka
| Thesis title in Czech: | Sférická simplexová hloubka |
|---|---|
| Thesis title in English: | Angular simplicial depth |
| Key words: | směrová data|simplexová hloubka|sférická simplexová hloubka |
| English key words: | directional data|simplicial depth|angular simplicial depth |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Probability and Mathematical Statistics (32-KPMS) |
| Supervisor: | Mgr. Stanislav Nagy, Ph.D. |
| Author: |
| Guidelines |
| Riešiteľ(ka) sa zoznámi s rozšírením simplexovej hĺbky na prípad smerových dát. Prehľadne popíše jej základné vlastnosti, porovná ju s klasickou simplexovou hĺbkou viacrozmerných pozorovaní, a uvedie príklady sférickej (angulárnej) simplexovej hĺbky jednoduchých rozdelení. |
| References |
| Liu, R. Y., and Singh, K. Ordering directional data: Concepts of data depth on circles and spheres. Ann. Statist., 20(3):1468-1484.
Liu, R. Y. (1990). On a notion of data depth based on random simplices. Ann. Statist., 18(1):405–414. Mendroš. E. (2023). Simplicial depth. Bc práca, MFF UK. Nagy, S., Demni, H., Buttarazzi, D., and Porzio, G. C. (2023). Theory of angular depth for classification of directional data. Adv. Data Anal. Classif. To appear. |
| Preliminary scope of work |
| Simplex v priestore R^d je konvexný obal (d+1) bodov (tj. trojuholník v R^2, alebo štvorsten v R^3). Uvažujme sadu n pozorovaní X={x_1, ..., x_n} a bod x v priestore R^d. Simplexová hĺbka bodu x voči dátam X je definovaná ako podiel počtu simplexov s vrcholmi v bodoch z množiny X ktoré obsahujú x, a celkového počtu simplexov tvorených X. Bod z R^d, ktorý dosahuje najvyššiu simplexovú hĺbku je tzv. simplexový medián. Ide o zovšeobecnenie mediánu pre dáta z priestoru R^d.
Smerové dáta sú špeciálnym prípadom viacrozmerných dát, ktoré musia ležať na povrchu jednotkovej sféry. Aj pre smerové dáta je možné definovať verziu simplexovej hĺbky, ak prirodzene uvažujeme simplexy (napr. trojuholníky v prípade jednotkovej sféry v R^3) iba na povrchu sféry. V práci bude popísaná simplexová hĺbka smerových dát. Jej vlastnosti budú porovnané so známymi vlastnosťami klasickej simplexovej hĺbky. Tiež, bude diskutovaný problém efektívneho výpočtu sférickej simplexovej hĺbky. |