Využití umělé inteligence při numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic

• Thesis title in Czech: Využití umělé inteligence při numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic
• Thesis title in English: Applications of artificial intelligence to the numerical solution of partial differential equations
• Academic year of topic announcement: 2024/2025
• Thesis type: diploma thesis
• Department: Department of Numerical Mathematics (32-KNM)
• Supervisor: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc.

Guidelines

Ačkoli výzkumy v oblasti umělé inteligence probíhají už několik desetiletí, její aplikace na řešení parciálních diferenciálních rovnic se objevily až v nedávné době. Zejména v posledních pěti letech došlo k výraznému zintenzivnění výzkumu v této oblasti. Cílem diplomové práce je zorientovat se v aktuálně používaných metodách, získat praktické zkušenosti s jejich používáním a aplikovat je zejména na numerické řešení rovnic konvekce-difúze. Kromě vlastní aproximace řešení se zde nabízí využít umělou inteligenci též k určení parametrů stabilizovaných metod či k identifikaci mezních vrstev a oscilací v přibližném řešení.

References

[1] Julius Berner, Philipp Grohs, Gitta Kutyniok, Philipp Petersen: The modern mathematics of deep learning, arXiv (2021), https://arxiv.org/abs/2105.04026

[2] Jan Blechschmidt, Oliver G. Ernst: Three ways to solve partial differential equations with neural network - A review, GAMM-Mitt. 44 (2021),Paper No. e202100006

[3] Weinan E, Jiequn Han, Arnulf Jentzen: Algorithms for solving high dimensional PDEs: from nonlinear Monte Carlo to machine learning, Nonlinearity 35 (2022), 278-310

[4] Jihun Han, Mihai Nica, Adam R. Stinchcombe: A derivative-free method for solving elliptic partial differential equations with deep neural networks, JCP 419 (2020), Paper No. 109672

[5] J.S. Hesthaven, S. Ubbiali: Non-intrusive reduced order modeling of nonlinear problems using neural networks, JCP 363 (2018), 55-78

[6] Yuehaw Khoo, Jianfeng Lu, Lexing Ying: Solving parametric PDE problems with artificial neural networks, European J. Appl. Math. 32 (2021), 421-435

[7] Gitta Kutyniok, Philipp Petersen, Mones Raslan, Reinhold Schneider: A theoretical analysis of deep neural networks and parametric PDEs. Constr. Approx. 55 (2022), 73-125

[8] Maziar Raissi, Paris Perdikaris, George E. Karniadakis: Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations, Journal of Computational Physics 378 (2019), 686-707

[9] Justin Sirignano, Konstantinos Spiliopoulos: DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations, JCP 375 (2018), 1339-1364

[10] Carlos Uriarte, David Pardo, Ángel Javier Omella: A finite element based deep learning solver for parametric PDEs, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 391 (2022), Paper No. 114562

Preliminary scope of work

Zajímavé nestandardní téma, jehož zpracovávání bude jistě zábavné a dobrodružné :-)

Preliminary scope of work in English

Although the research in the field of artificial intelligence has been carried out already for several decades, its applications to the solution of partial differential equations have arised only in the recent period. In particular, the last five years have revealed a dramatic increase of research in this field. The aim of the master thesis is to explore the currently used methods, to get some practical experiences with their applications and to apply them to the numerical solution of convection-diffusion equations. Apart from the approximation of the solutions themselves, it should be also possible to employ the artificial intelligence for determining parameters in stabilized methods or for identifying layers and oscillations in approximate solutions.