Spočetně hustě homogenní prostory
| Thesis title in Czech: | Spočetně hustě homogenní prostory |
|---|---|
| Thesis title in English: | Countable dense homogeneous spaces |
| Key words: | topologický prostor|hustá množina|homeomorfismus |
| English key words: | topological space|dense set|homeomorphism |
| Academic year of topic announcement: | 2022/2023 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 30.03.2023 |
| Date of assignment: | 30.03.2023 |
| Confirmed by Study dept. on: | 13.04.2023 |
| Guidelines |
| Student se seznámí s pojmem spočetné husté homogenity v topologických prostorech. Zpracuje základní výsledky a popíše techniky, které umožňují ukázat spočetnou hustou homogenitu řady prostorů (např. euklidovských prostorů, Hilbertovy kostky, Baireova prostoru nebo Cantorova diskontinua). Následně se může věnovat některému z otevřených problémů v této oblasti. |
| References |
| R. Bennett: Countable dense homogeneous spaces, Fundamenta Mathematicae 1972
R. Hernández-Gutiérrez: Countable dense homogeneity and the double arrow space, Topology and its Applications 2013 M. Hrušák, J. van Mill: Open problems on countable dense homogeneity, Topology and its Applications 2018 J. van Mill: The infinite dimensional topology of function spaces, 2002 |
| Preliminary scope of work |
| Separabilní topologický prostor X se nazývá spočetně hustě homogenní, pokud pro každé dvě jeho spočetné husté podmnožiny A, B existuje homeomorfismus X na sebe,
který převádí A na B. Klasickým výsledkem je, že euklidovské prostory tuto vlastnost mají, ale důkaz není triviální již pro reálnou přímku. Existují obecná kriteria (tzv. silná lokální homogenita), která umožní ověřit spočetnou hustou homogenitu v konkrétních příkladech pohodlným způsobem. Řada otevřených otázek v této oblasti je shrnuta v článku Hrušáka a van Milla (2018). |
| Preliminary scope of work in English |
| A separable topological space X is called countable dense homogeneous if for every pair of coutable dense subsets A, B in X there exists a homeomorphism of X onto itself which maps the set A onto the set B. It is a classical result that Euclidean spaces have this property but the proof is nontrivial even for the real line.
There are some criteria (so called strong local homogeneity) which allows us to verify countable dense homogeneity in a simple way. The student will start with the notion of countable dense homogeneity. Then he/she describes the techniques which may help to proof countable dense homogeneity of several spaces (including Euclidean spaces, Hilbert cube, Baire space or Cantor discontinuum). Consequently, an open problem from a recent paper by Hrušák and van Mill (2018) can be a challange. |