Řád a chaos v jednoduchém modelu molekulárních vibrací

• Thesis title in Czech: Řád a chaos v jednoduchém modelu molekulárních vibrací
• Thesis title in English: Order and chaos in a simple model of molecular vibrations
• Key words: symetrie, algebra U(3), kolektivní algebraický model, vibrace molekul, regulární dynamika, klasický chaos, Ljapunovův exponent, mnohočásticový systém
• English key words: symmetries, U(3) algebra, collective algebraic model, molecular vibrations, regular dynamics, classical chaos, Lyapunov exponent, many-body system
• Academic year of topic announcement: 2019/2020
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Institute of Particle and Nuclear Physics (32-UCJF)
• Supervisor: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D.
• Author: Mgr. Jakub Novotný - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 09.10.2019
• Date of assignment: 07.11.2019
• Confirmed by Study dept. on: 28.11.2019
• Date and time of defence: 08.09.2020 09:00
• Date of electronic submission: 30.07.2020
• Date of submission of printed version: 30.07.2020
• Date of proceeded defence: 08.09.2020
• Opponents: RNDr. Michal Kloc, Ph.D.

Guidelines

Studentka/student se seznámí s algebraickým přístupem k modelování kolektivních kvantových mnohočásticových systémů, zejména s modelem kolektivních vibrací založeným na algebře U(3), kterým se popisují například tzv. "bending vibrations" lineárních tří a víceatomových molekul. Jedná se o jeden z nejjednodušších algebraických modelů, který nicméně může vykazovat chaotické chování, tj. citlivou závislost na počátečních podmínkách v klasické verzi modelu, resp. speciální korelace ve spektrech kvantového modelu.

Cílem balakářské práce bude popsat kvantový algebraický U(3) model a jeho klasickou limitu a následně numericky prostudovat stabilitu dynamiky v závislosti na měnitelných parametrech modelu. Student/studentka se primárně zaměří na klasickou dynamiku, tj. na zkoumání stability trajektorií měřené např. pomocí Ljapunovova exponentu, na vizualizaci pomocí Poincarého řezů a určení míry chaotičnosti.

References

Algebraický přístup k mnohočásticovým systémům:
F. Iachello, Lie Algebras and applications, Lect. Notes Phys. 708, Springer (2006).
F. Iachello, R.D. Levine, Algebraic theory of molecules, Oxford University Press (1995).

Vibronový model založený na algebře U(3):
F. Iachello, S. Oss, Algebraic approach to molecular spectra. Two-dimensional problems, J. Chem. Phys. 104, 18 (1996).
F. Pérez-Bernal, F. Iachello, Algebraic approach to two-dimensional systems. Shape phase transitions, monodromy, and thermodynamical quantities, Phys. Rev. A 77, 032115 (2008).

Teorie klasického chaosu:
M.C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag New York (1990).
M. Tabor, Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, Wiley-Intercience (1989).
J. Horák, L. Krlín, A. Raidl, Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace, Academia (2003).

Analýza a vizualizace klasického a kvantového chaosu systémů se dvěma stupni volnosti:
P. Stránský, P. Hruška, P. Cejnar, Quantum chaos in the nuclear collective model. Classical-quantum correspondence, Phys. Rev. E 79, 046202 (2009).
P. Stránský, P. Hruška, P. Cejnar, Quantum chaos in the nuclear collective model. II. Peres lattices, Phys. Rev. E 79, 066201 (2009).

Preliminary scope of work

Teorie grup nachází své uplatnění napříč všemi oblastmi fyziky. Využívá zjevných či skrytých symetrií popisovaných systémů a významně zjednodušuje jejich popis a studium. V teorii mnohočásticových systémů se s úspěchem použivá k popisu kolektivních jevů (např. vibrace nebo rotace), kdy se namísto jednotlivých komponent (např. atomů v molekulách nebo nukleonů v atomových jádrech) uvažuje pohyb systému jako celku. Tím se jednak významně snižuje počet stupňů volnosti, jednak lze použít algebraické metody, které umožňují počítat kvantová spektra buď přímo pomocí explicitních vzorců, nebo diagonalizací jednoduchých matic.

Jeden z nejjednodušších algebraických modelů je založen na algebře U(3). Model má dva stupně volnosti, a je tedy v obecném případě neintegrabilní - chaotický. Chaos v klasické fyzice je definován jako exponenciálně citlivá závislost na počátečních podmínkách, v kvantové mechanice se pak nejčastěji spojuje s korelacemi v energetických spektrech. V poslední době se navíc v kvantové teorii intenzivně studuje tzv. různočasový korelátor (Out-of-Time-Order correlator, OTOC), který má blízký vztah ke klasickému Ljapunovovu exponentu, a tudíž je kandidátem na přirozený a dlouho hledaný most mezi teoriemi klasického a kvantového chaosu.

Nesporná výhoda algebraického U(3) modelu je v tom, že kvantový Hilbertův prostor je konečný a jeho velikost je nastavitelný parametr. To nadále zjednodušuje numerické studium.

V této teoretické práci bude mít řešitelka/řešitel možnost seznámit se hlouběji s teorií chaosu, přičemž si bude moci zvolit, zda se soustředí na klasickou dynamiku či na kvantový popis. Naučí se pracovat s Lieovými algebrami a konstruovat hamiltoniány pro popis kolektivních jevů mnohočásticových systémů. Nakonec napíše program pro analýzu klasické nebo kvantové dynamiky. Předpokladem k úspěšnému vypracování je tedy kladný vztah k programování.