Práce bude zaměřena na historii a aplikace chaosu a fraktálů v matematice a příbuzných vědách. Cílem bude přiblížit tuto atraktivní oblast formou srozumitelnou z co největší části studentu střední školy.
V první části budou popsány počátky teorie dynamických systémů, která exaktní studium chaosu a fraktálů umožnila. Jako motivační příklady budou použity například ve své době nový pohled na pohyby planet, vykreslování fraktálů, případně modelování počasí.
Druhá část práce bude obsahovat exaktní výklad, který povede od rovnice paraboly až k základním definicím chaosu. Důraz bude přitom kladen na různé aplikace (např. popis nárustu populace pomocí logistického zobrazení, pohyb planet) a doplníme práci o základní fraktály, které zde vznikají (např. Cantorova množina, Mandelbrotova množina, Juliovy množiny).
Seznam odborné literatury
Alligood K. T., Sauer T. D., Yorke J. A.: Chaos - An introduction to dynamical systems. Springer, 1996.
Mandelbrot B.: Fraktály. Tvar, náhoda a dimenze. Mladá fronta, Praha, 2003.
Předběžná náplň práce
Práce je stručným a přehledným úvodem do matematické teorie dynamických systémů, která vznikala s objevováním chaosu a fraktálů v praxi i ve vědě. Nejprve čtenáře zavedeme do historie, která vysvětluje mnohé objevy. Zdůrazníme přínos vývoje počítačů, díky kterým došlo k lavinovému rozvoji v souvislosti s chaosem i fraktály. Na základě zkoumání jednoduchých modelů z praxe přejdeme k exaktnímu výkladu. Postupně si definujeme základní pojmy jako orbita, pevné a periodické body, stabilita a chaotické chování. Pojem chaos je doprovázen geometrickou představou, která vede k fraktálům. Fraktály mají na rozdíl od tradičních objektů neceločíselnou dimenzi, kterou spočítáme pro jednoduchým postupem zkonstruovanou Cantorovu množinu. Práce je doplněna o další příklady známých fraktálů, které se využívají v teorii, ale jsou také součástí mnoha praktických systémů.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
This work provides a brief introduction to the mathematical theory of dynamical systems that developed with the discovery of chaos and fractals both in practice and science. First, the reader attends a history lecture explaining the evolution of the field. We point out the advancement of computers that allowed enormous progress regarding chaos and fractals. Studying simple models from the real world leads us to an exact mathematical interpretation. We successively define elementary terms as orbit, fixed and periodic points, stability and chaotic behaviour. Chaos adopts the shape of fractals in geometry. Unlike traditional objects in geometry fractals possess a non-integer dimension. We calculate it for the Cantor set we obtain by a simple construction. The work is completed by examples of other know fractals that are used in theory but also naturally appear in practical systems.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.